Биомагнитные измерения - Кнеппо П.
ISBN 5-283-00557-7
Скачать (прямая ссылка):
со стороны положительной оси поворота) новые мультипольные компоненты
выражаются через исходные следующим образом L
поворот относительно оси х
i410 = cos ах * i4]0 - sin ex • i, Ац ~Ац,
В а = sin ах ¦ AiQ + cos <хх' В ц,
1 3 3
А'ю = -(1 + 3cos 2ах)А20 sin 2ах Вц------(1 - cos2ax)An,
4 2 2
Ai 1 ~ cos ссх ' А2 j - 2 sin ctx ' Вц,
Вц = --sin 2ах-А20 + cos 2ах-В21 + sin2a* ¦ А22,
2
А'ц =- - (1 - cos 2ах)А20 - - sin2axi?2i + - (3 + cos2ax)/l2 2>
8 4 4
B'i i = - sin ax ¦ Ai i + cos ex • B2 2;
2
поворот относительно оси у A\ о = cos ау ¦ A i " + sin ау • A11,
Aii - sin cty ' Aiо cos cty ' Ац, В11 - Вi \,
1 3
A2 g ~ - (1+3 cos 2 йу) 'A 2o -sin 2cty ' Ац +
4 2
+ - (1 - cos2ay)Aii,
204
=- - sin 2Яд, A2Q + cos 2a_j, ¦ A2i + sin 20^ -A22, !
jS'2i = cosay ¦ B21 + 2sin ay ¦ B22*
A'22 = cos2ay)A20 - -^-sin 2ay ¦ A21 + ^ (3 + cos2ay)A22,
B'22 =- -i-sma^ B2i + cosa^ B22;
поворот относительно оси z
A10 ~ A jo" A11 = cos o>z 'A 11 + sin az * 2? 11,
B\ 1 =-sinaz /In +cosaz Вц,
A2o = -i420>
A'21 = cos az ¦ A21 + sin az • B21.
В 'л =-sin az • A21 + cos az ¦ B2i,
A'22 =cos2az *i422 +sin2az B22,
B'22 =-sin2az Ai2 +cos2az B22.
(3,221)
Собственную систему координат генератора удобно выбрать так, чтобы ее
начало находилось вблизи геометрического центра распределения источников,
т.е. характеризовало его среднее пространственное положение, а оси были
ориентированы в направлениях, характеризующих преимущественное
направление дипольных элементарных генераторов и форму их распределения в
пространстве. Распределение источников биоэлектрического генератора
обычно имеет относительно большую дипольную составляющую, которая вносит
наиболее значительный вклад в измеряемый потенциал по сравнению с другими
мультиполь-ными членами, если начало координат мультипольногоразложения
находится внутри области источников.
Если учесть указанное свойство распределения источников, то в качестве
начала собственной системы координат целесообразно выбрать точку,
обеспечивающую наименьший вклад в потенциал недипольных членов. Поскольку
наиболее существенным из этих членов является квадрупольный, в первом
приближении можно ограничиться минимизацией квадрупольного потенциала
[112]. Следует иметь в виду, что такая минимизация возможна лишь при
условии, что не равен нулю ди-
205
польный член, так как в противном случае квадрупольные компоненты не
зависят от расположения начала координат.
Найдем положение начала собственной системы координат из условия
минимизации среднеквадратичного квадрупольного потенциала на поверхности
сферы с центром в начале координат. Согласно (3.217) и (3.219) средний
квадрат квадрупольного потенциала на поверхности сферы с центром в начале
новой системы координат и для неограниченного, и для ограниченного
однородных проводников выражается как
= К (А '2\ + 3 А'2\ + ЗВ'2\ + 12 А'2\ +12В'2\), (3.222)
где К - постоянный коэффициент и А'2о, А'г1, В21, А'22, В22 ~
квадрупольные компоненты генератора в новой системе координат. Пусть
начало новой системы координат находится в точке, имеющей координаты хс,
ус, zc в старой системе координат, а оси новой системы параллельны
соответствующим осям старой. Подставим в (3.222) выражения (3.220),
связывающие квадрупольные компоненты в этих двух системах координат:
^52 = ^ [(А* О +-^1 1 ХС + В 1 1Ус ~ 2/11 0Zc)2 +
B\\Zcy +
(3.223)
Для нахождения минимума этой величины по координатам хс. ус, Zc-
продифференцируем последнее выражение по этим переменным и приравняем
производные нулю. В результате получается линейная система из трех
уравнений относительно искомых величин хс, ус, zc, решение которой
находится обычным способом. Его удобно записать, используя обозначенйя Рх
= А,,, Ру = Вц,Рг = Л10 - компоненты вектора дипольного момента, Р =
yjp2x + Р2 + Pf - модуль и Сх = Рх/Р, Су = Ру/Р, Cz = PZ/P - направляющие
косинусы этого вектора (значения этих величин одинаковы в обеих системах
координат):
*с= ~ [~CX(l+Cj)A20 + 2Cz(2 -С>)А21 -4 D
- 2 СхСу CZB21 + 2СХ (4 - Сх + Су)А22 + 4 Су (2 - СХ)В22],
206 1
+ 3(A2i - AiQxc Ai i zc~) + 3 (В21 - АщУс -
I **
+ 12 (А?2 ~ -1 хс + -В2 хУс)2 +
\ 2 2
+ 12 1в22 - - Вц хс - "-^11Ус j
- 2Су(4 +С1- С2)А22 + 4Сд-(2 -С2)В22],
Zc = ±_ [Cz (3 - CIM20 + 2СХ (2 - С| М21 +
4?>
+ 2С), (2 - Ci)B2i - 2CZ (С2х-С2у)А22 -4CxCyCzB22).
(3.224)
Положение начала новой системы координат не зависит от выбора исходной
системы; это легко показать путем непосредственной подстановки в (3.224)
мультипольных компонент данного генератора, определенных относительно
любой другой исходной системы.
Вокруг началу собственной системы координат, определяемого найденными
величинами хс, ус, zc, группируются в пространстве источники тока,
образующие генератор. Поскольку распределение источников (конфигурация
генератора) изменяется во времени, положение начала собственной системы
координат также может изменяться. Поэтому такую точку иногда называют
подвижным электрическим центром биоэлектрического генератора. Заметим,
