Биомагнитные измерения - Кнеппо П.
ISBN 5-283-00557-7
Скачать (прямая ссылка):
г. Если выбрать начало координат в центре шара и применить уравнение
(3.263), то оно принимает следующий вид:
где S - поверхность шара. Это выражение отличается от соответствующего
выражения для однородного неограниченного проводника (3.261) только
множителем л/(2и+1). Заметам, что (3.264) можно получить и иным путем, а
именно из (3.212), воспользовавшись свойством ортогональности сферических
функций.
Для поверхности S произвольной формы удобно развернуть скалярное
произведение под знаком интеграла, учитывая (3.182), и записать его в
проекциях на оси декартовой системы координат xyz; тогда
(3.263) принимает вид
где dSx, dSy, dSz - компоненты векторной элементарной площади поверхности
dS. Отсюда можно получить следующие выражения для вычисления
электрических мультипольных компонент до 2-го порядка:
-с"-~ т^~ iipr"-1-
(п + т)\ s
1
2
I
(и + ш)(и + ш-1) Р"т_!1 (COS0)
cos ("J-1) ф sin (т - 1)ф
- Р(tm)1\ (cose)
+ - (и+т)(и + ш - 1) P(tm)-il (cos0)
2
-sin (т - 1) ф cos(m-l)^
(3265)
Аю ~ ° 5 ipdSz, Ац - о J *pdSx, В it - a J <pdS^; (3.266)
S
s
s
А2о ~ о J <р (~xdSx - ydSy + 2 z dSz), S
A21 - "p(zdSx+xdSz)> s
223
B2i = oS V (zdSy + ydSz),
S
A22 = - a J <p(xdSx - ydSy),
2 S
В22 = - ° J *p (y dS + xdSy).
2S
Как было указано выше, эквивалентный генератор, создающий в однородном
неограниченном проводнике вне заданной области, содержащей первичный
генератор, такое же электрическое поле, как и первичный генератор, и
часть магнитного поля, обусловленную токовым мультипольным эквивалентным
генератором, мбжет быть представлен в виде токового сферического двойного
слоя, охватывающего область генератора с центром в начале координат и
радиусом г. Если разложить мощность такого двойного слоя Ds в ряд
сферических функций и сравнить выражение для коэффициентов ряда со
следующим выражением для мультипольных компонент двойного слоя,
полученным из общего выражения (3.115):
(3.268)
где S - поверхность сферы с радиусом г, то нетрудно показать, что
мощность этого двойного слоя выражается в виде ряда сферических функций с
коэффициентами, пропорциональными электрическим мультипольным компонентам
Апт, В пт :
оо /2
Ds = D$0+ -2 2 2п 1 [А"тг " 1 Р"т (cos ff) cosтф~+
47Г и = 1 m = 0 "
+ Bnmr'n~1 Рпт(cosO) sin тф], (3.269)
где Ds - произвольная постоянная, характеризующая свойства генератора,°не
находящие отражения в электрических мультипольных компонентах. Данный
эквивалентный двойной слой, как и токовый мульти-польный генератор,
создает во внешней области вихревое магнитное поле с индукцией В2,
которую с Помощью (3.136) и (3.269) можно
(3267)
224
представить в виде разложения в ряд:
Вг (г) =---------- Г S _2и±!_ r--n-i
167Г2 п=1т = 0 71
^л"я J ЛГ (cosб0) cos"J^o grad^o [ - 1 х dS +
0 I г,
S \ R
+ впт J Р/Г (cos60) sin тi//0 grad/-0 / -j- ) x dS
(3.270)
Записывая эти интегралы в сферической системе координат, полу^м
В2(г)=--^-Б ?
16я2 " = 1ш= 0 и
2 ЛИ д
-4л/и J J Р/Г (cos60)cos"J^o - Ф о=0 в0=0 д^о
2П1Т Э /1 \
- Рлт J / Pnm (cos60) sin m ф0 sin б0 -- (- 1л, d60 <1ф0 фо=0 во-0 дв0\К
I
(3.271)
где I# 0 и 1^0 - единичные векторы соответствующих осей локальной системы
координат в текущей точке интегрирования (область генератора) .
Если в однородном неограниченном проводнике вне генератора измерена
магнитная индукция, то, используя ее радиальную компоненту, можно
вычислить безвихревую составляющую. Разность между суммарной магнитной
индукцией и безвихревой составляющей в каждой точке области измерения
дает вихревую составляющую В2, по которой в принципе можно с помощью
(3.271) определить соответствующие электрические мультипольные
компоненты. Таким образом, магнитные измерения при этих условиях
позволяют получить всю доступную информацию об электромагнитном поле вне
генератора.
Фундаментальные задачи биоэлектродинамики. При исследовании
электрического и магнитного полей биологических объектов постоянно
приходится в той или иной форме решать две фундаментальные задачи,
которые в соответствии с терминологией теории поля принято называть
прямой и обратной. В теории поля под прямой задачей подразумевается
определение напряженности или потенциала векторного
225
поля по его возбудителям (источникам и вихрям), а под обратной задачей -
определение возбудителей векторного поля по его напряженности или
потенциалу [1 и др.]. Рассматриваемая электродинамическая система
описывается несколькими векторными полями, из которых наиболее
существенными являются поле плотности стороннего тока J *, электрическое
поле Е и магнитное поле Н (или поле магнитной индукции В) , связанные
дифференциальными уравнениями Максвелла.
Принимая во внимание биофизический смысл указанных полей по отношению к
изучаемым объектам, а также некоторые условия реального исследования, в
частности тот факт, что для измерения доступна лишь ограниченная область
пространства, обычно полагают, что прямая задача заключается в
определении характеристик электромагнит-нога поля в области, которая
