Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Кнеппо П. -> "Биомагнитные измерения " -> 72

Биомагнитные измерения - Кнеппо П.

Кнеппо П., Титомир Л.И. Биомагнитные измерения — М.: Энергоиздат, 1989. — 288 c.
ISBN 5-283-00557-7
Скачать (прямая ссылка): biomagnitnieizmerenie1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 113 >> Следующая

сферических функций:
Ynm = Р (tm)(cos в) cos тф, Y°m =Р(tm) (cos б) sin тф.
Выражения в сферических и декартовых координатах для полиномов и
присоединенных функций Лежандра, а также для поверхностных сферических
функций до 3-го порядка включительно даны, например, в [44].
189
Допустим, что среда, в которой расположены генератор и точка наблюдения,
является однородным и неограниченным проводником с удельной электрической
проводимостью о. Поскольку генератор занимает ограниченную область
пространства, должно выполняться условие <р -* 0 при г -> <*> и,
следовательно, в разложении (3.172) нужно положить апт = 0, Ьпт = 0.
Кроме того, введем величины Апт = 4тгоапт иВпт = 4itabnm. Тогда (3.172)
принимаетвид
оо и
Ф = ----- Б Б [Anmr~n (cos в) соьтф +
47ГО п - $ т= о
+ Bnmr~n~^ Р(tm) (cos0) sin тф ]. (3.173)
Таким образом, потенциал представлен здесь в виде суммы характерных
членов, которые в зависимости от координаты г изменяются
пропорционально1/г"+1, где п - порядок члена разложения. При постоянном
значении г, т.е. на сферической поверхности, каждый член разложения
пропорционален поверхностной сферической функции, "пространственная
частота" которой определяется величинами пит.
Постоянные коэффициенты Апт, Впт. определяемые для области вне сферы
минимального радиуса с центром в начале координат, полностью охватывающей
генератор, называются мультипольными компонентами электрического поля,
или просто электрическими мультипольными компонентами, а разложение
(3.173) для этой области - мультипольным разложением электрического
потенциала. Член разложения порядка п представляет собой сумму 2и+ 1
слагаемых с соответствующими коэффициентами Апт, Впт :
1 "
= ----------- 2 [AntnP"m (cos 9) cos тф +
4lTOrn+1 т = 0
+ ВптР(tm) (cos0) sin /яф]. (3.174)
Приведем выражения для членов мультипольного разложения потенциала до 2-
го порядка в сферических и декартовых координатах:
^00
*0= л ¦ (3-175)
47Г ОТ
Altar '
(Аю cos0 +-4ц sin 0 cos ф + Вц sin 9 sin ф) =
Anar3
(A i о 2 + АцХ + Вцу),
(3.176)
190
- cos20)sin2^ = ------------- --^20 (2z2 -x2 y2)+3A2iXZ +
Art or* 2 •
Airar
+ 3B21yz + 3^22 (x2 -y2)+6B22xy
(3.177)
Теперь выясним, как связаны электрические мультипольные компоненты с
пространственной структурой собственно генератора. Известно, что функцию
1/R можно разложить в сходящийся ряд пространственных сферических
функций, имеющий вид
где г0, в0, ф0 и г, в, ф - сферические координаты текущей точки в области
генератора и точки наблюдения потенциала соответственно и ет - множитель
Неймана, е0 = 1, ет = 2 при тФ 0.
Обратимся теперь к уравнениям (3.101) и (3.109) и представим их в виде
разложения в ряд сферических функций, используя для левой части (3.173) и
для правой части (3.179). Почленное сопоставление разложений левой и
правой частей дает следующие равноценные выражения для мультипольных
компонент:
R п= 0 т- 0 <я+ и)! r?+i
• Р (tm) (cos в0)Р(tm) (cos 0) cos [т (^0 ~ ^)] >
при г< г о;
(3.178)
V" " "* / i и
~ *т ------------ ---------
R п = о т = 0 (" + ")! г"+1
• 7>"m(cos0o)?"m(cos0)cos ["(^о-^)]
при г > Г0,
(3.179)
(3.180)
191
Апт
Впт
= ет <П -Шт~ S Wrn0Pnm (cos0О) Г' Г \ dV (ЗЛ81)
(л + т)! у -------
COSW ф0
sin тф0
(здесь и в дальнейшем применяется сокращенная запись, в которой совмещены
аналогичные выражения для Апт и Впт, различающиеся лишь функциями cosm4/0
и sinwi^o)- Заметим, что компоненты век-
тора grad
r"C(cos") S'05""*'
в декартовой системе координат
(sin тф
xyz, связанной обычными соотношениями (3.170) и (3.171) со сферической
системой коориднат гвф, выражаются так:
_Э_
Эх
rnPnm (cos 0) ) (tm)тф!
' sinwn//'
э
Эу
(cos 0)
cos тф sin тф
- (3.182)
2
-/"ии-11 (COS0) sin^+1)^i ' -cos(m+l)^
Э
Эг
г"/"" (cos 0)
COSWJ ф sin тф 1
(n + m)Prlr!_i (cos 0) -
COSWJ\(/
sin тф
Запишем выражения для мультипольных компонент до 2-го порядка, преобразуя
подынтегральные выражения в (3.180) и (3.181) при помощи (3.182) и
учитывая следующие соотношения для присоединенных функций Лежандра:
и(и-1) Р~п'_х (cos0) (COS0),
P(tm)(cos6) =0 при т>п.
Из уравнения (3.180)
^оо - 0; 192
(3.183)
'Z - ' > 1 I J Jx u *" . " 1 1 J
"y
V V V
Aio = I J* ^V, Axl = j J* dV, Bn= \ К dV;
Ao
*2o ~ J (~^xxo Jy У о + 2/z z0) d F,
V
An = S (Jx*z0+Jz*x0)dV, Bn=S (Jv*z0+Jz*y0)dV,
A"='-f (J*x0-j;yo)dV,
522 =- f 4**o)dF,
2
I -184)
(3.185)
где J*, Jy, J * - компоненты вектора генератора J в системе координат
xyz. Из уравнения (3.181)
А00 = \ WdV-
V
(3.186)
А10 = \ Wz0dV, Alt - J Wx0 dV, Вц = f Wy0 dV- (3.187) V V V
A20 = i-J W(-xl-yl+2zl)dV,
A2i = I'Wx0 z о dV, B21 = j Wy0z0dV,
V V
A22 = -J W(pcl-yl)dV, 522 = - J Щ0У0 dV.
(3.188)
Как показывают уравнения (3.180), (3.181), (3.183) - (3.188),
электрические мультипольные компоненты отражают определенные свойства
пространственной конфигурации генератора, причем только такие свойства,
которые зависят от распределения его источников. Они выражаются через
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 113 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed