Биомагнитные измерения - Кнеппо П.
ISBN 5-283-00557-7
Скачать (прямая ссылка):
dS, J
fc = l 2 S* 2 Se (3.257)
где Ьс, ly и 12 - единичные векторы, направленные по соответствующим
координатным осям. Следовательно, вектор магнитного дипольного момента
можно выразить как
1 N 1
DM = - / го xJ*dF- 2 - / (a,-o2)^r0xdS-
к = 1 2 Sk
- - J Ое о х ^S.
(3.258)
2 Se
Вместе с тем применение разложения (3.179) к (3.157) дает для
электрического дипольного момента
N
D = J J* d К = 2 J (о,-o2)<?dS+ f ое v?dS. (3.259)
К к = 1 Sfc Se
Последнее уравнение подтверждает тот факт, что электрический дипольный
момент генератора не зависит от выбора начала координат. Кроме того,
используя это уравнение, легко показать, что магнитный дипольный момент,
определяемый уравнением (3.258), также не зависит от
220
положения начала координат (добавление к радиус-вектору текущей точки
интегрирования г0 произвольного постоянного вектора не приводит к
изменению величины DM).
Описанный выше способ разложения магнитного поля в однородной
неограниченной среде на безвихревую и вихревую составляющие Bi и В2 можно
трактовать как введение сферической поверхности с центром в начале
координат, охватывающей все генераторы (как первичные, так и вторичные),
и замены проводника вне этой сферы диэлектриком, после чего магнитные
мультипольные компоненты определяются для этой внешней области.
Рассмотрим для простоты проводящую среду без внутренней неоднородности
(oj - о2 = 0) и предположим, что ограничивающая ее поверхность S является
сферой, центр которой всегда совпадает с началом координат (r0 х dS = 0).
Тогда в (3.256) два последних слагаемых обращаются в нуль, и оно
принимает вид
Конкретизация этого выражения для каждого значения п непосредственно дает
уравнения для магнитных дипольных компонент (3.248), квадрупольных
компонент (3.250) ит.д.
Некоторые интересные примеры применения скалярного мульти-польного
разложения магнитного поля приведены в [180].
Вычисление мультипольных компонент по экспериментальным измерениям.
Поскольку для описания генератора используются электрические и магнитные
мультипольные компоненты, возникает вопрос о способе их нахождения при
таких условиях измерения, которые характерны для диагностического
исследования, когда электрический потенциал $ может быть измерен на
поверхности объекта, а магнитная индукция В - в любой точке вне объекта.
При помощи (3.167) и (3.168) можно по данным измерений определить
значения tpf, и В* для любой точки вне объекта и, в частности, для точек
сферической поверхности, окружающей его. Прямое измерение <рь и В/г
возможно в специальных экспериментальных условиях, когда объект окружен
однородной средой большого объема с удельной электрической проводимостью,
близкой к его средней удельной электрической проводимости.
Далее, используя применительно к разложениям (3.173) и (3.244) тот факт,
что поверхностные сферические функции Рпт (cos0) cosmip и Рп (cos0) sin
mi// образуют ортогональную систему на поверхности
¦ г0 х J*dV.
(3.260)
221
сферы с центром в начале координат, можно получить следующие выражения
для электрических и магнитных мультипольных компонент:
Апт
Впт
ям
лпт
DM 11 пт
= огп 1 ет
(2п + 1) (и-m)! с . пП/ \ созтф)
---------------- S'PhPn (oosd) j ( dS,
(n +m)! s (sin тф)
(3.261)
= r"e"..(2"4- D("-m)! iBhrPn (cose) j J dS, Ho (" + l) (и +m)! S (sin
тф)
(3.262)
где г - радиус произвольной сферической поверхности S с центром в начале
координат, полностью охватывающей область генератора.
Как видно из сопоставления (3.261) и (3.262), выражения для магнитных
мультипольных компонент отличаются от соответствующих выражений для
электрических коэффициентом г/[и + 1)ад0] и вместо потенциала содержат
под интегралом радиальную компоненту магнитной индукции Bf,r.
Уравнение (3.262) в принципе можно применить для вычисления магнитных
мультипольных компонент непосредственно по измерениям магнитного поля на
сферической поверхности вокруг объекта, т.е. без предварительного расчета
значения Bhr [184]. Однако в этом случае получаются значения
мультипольных компонент, существенно зависящие от формы поверхности тела
и не удовлетворяющие уравнению (3.260).
Известны также соотношения, позволяющие вычислить электрические
мультипольные компоненты непосредственно по измерениям потенциала на
поверхности объекта без промежуточного определения потенциала в
однородном неограниченном проводнике [109, 110]. Для их получения нужно в
обоих слагаемых уравнения (3.160) разложить функцию 1 jR в ряд
сферических функций (3.179) и почленно сопоставить разложения. В итоге
получается следующее выражение для электрических мультипольных компонент
через потенциал на поверхности S ограниченного проводника с удельной
электрической проводимостью а:
Апт I (и - т) ! ,
\= ает---------------- J <pgrad
Опт ) (и + "I)! 5
" _ .cos тф
rnP(tm)( cos б) .
sm тф
dS,
(3.263)
где г, в, ф - сферические координаты точек поверхности S.
222
Важный частный случай - зю однородный проводник в форме шара с радиусом
