Биомагнитные измерения - Кнеппо П.
ISBN 5-283-00557-7
Скачать (прямая ссылка):
получим следующее выражение для потенциала, обусловленного членом и-го
порядка мультипольного разложения:
и
4>п = ------------------- 2 [АптР(tm) (cos в) соьтф +
47Гал/-" + 1 т- О
+ BnmP(tm){cos6) sin тф]. (3.212)
Это выражение отличается от выражения для однородного неограниченного
проводника (3.174) только множителем (2п+ 1)/и.
Для сферической поверхности S с центром в начале координат легко получить
формулы для среднеквадратичного потенциала любой
201
мультипольной компоненты. Общее выражение для среднеквадратичного
потенциала на поверхности сферы имеет следующий вид:
2П П '
- / J v\sineded\l>, (3.213)
4п ф = 0 б = о
где tps - заданное распределение потенциала на сферической поверхности.
Подставляя сюда выражения для потенциалов мультипольных компонент (3.174)
и (3.212), получим для среднеквадратичных значений потенциала
мультипольных компонент на сферической поверхности с радиусом г в
однородном неограниченном проводнике
Vs (Апт ) VS (Впт)
1 / (п + т)!
4 nor
л + 1 / €т (2л + 1) (п-т)!
Апт; (3.214)
В г,
и на поверхности однородного шара с радиусом г, окруженного диэлектриком,
/
Vs(Anm)) _ 1 / (2 л +1) (л + т)! \Апт[ ^215)
Vs (Впт) ) 4П0пгП + 1 л/ [Впт
Таким образом, среднеквадратичный потенциал мультипольного члена и-го
порядка на сфере с радиусом г как для неограниченного, так и для
ограниченного проводника пропорционален величине 1 /г"+1 и при удалении
от генератора убывает все быстрее с повышением порядка члена. Полные
среднеквадратичные потенциалы %Sn мультипольных членов 1-го и 2-го
порядков выражаются для однородного неограниченного проводника как
?Sl= - ------------ /~ Шо +^ii +B?i), (3.216)
4пог2 * 3
I ' i
~Vs2 = ------~ / T (A*o + 3Ah +3J9?! +l2Ah +12B222)
(3.217)
4nor 3 v 5
и для однородного шара, ограниченного диэлектриком, как
Ii = + ^411 + #ii),
VSi= V3(^to +4!i +fin), (3.218)
4 nor2
Vs2 = ~~~ I" / ^-(Л\г,^ЪА\14ЪБ\14-\2А\г4\2В\2). (3.219)
4nor3 V 4
202
Для того чтобы охарактеризовать пространственно-временную динамику
генератора, целесообразно ввести систему координат, которая определялась
бы только конфигурацией самого генератора и не зависела бы от выбора
исходной системы координат, в которой вычисляются мультипольные
компоненты. Такую систему координат, изменяющуюся вместе с генератором
(подвижную), назовем собственной системой координат генератора.
Возможность выбора собственной системы координат, обладающей некоторыми
полезными свойствами, обусловлена особым характером изменения
мультипольных компонент заданного распределения источников при переходе
от одной системы координат к другой (это изменение определяется
тензорными свойствами мультипольных членов). Если заданы мультипольные
компоненты Апт, Впт в исходной системе координат и известно положение
некоторой новой системы координат относительно исходной (координаты
начала и углы наклона осей по отношению к исходной системе), то по этим
данным можно непосредственно вычислить мультипольные компоненты в новой
системе координат.
При параллельном переносе осей координат к каждой мультиполь-ной
компоненте добавляются слагаемые, равные произведениям мультипольных
компонент более низких порядков на коэффициенты, пропорциональные
различным степеням координат начала новой системы. Следовательно, если
все мультипольные компоненты низших порядков равны нулю, то мультипольные
компоненты данного порядка при параллельном переносе осей координат
остаются неизменными. Это последнее свойство наиболее актуально в
применении к члену мультипольного разложения первого порядка
(дипольному). Как было указано выше, в рассматриваемых условиях член
нулевого порядка (уни-поль) всегда равен нулю, поэтому параллельный
перенос осей координат не приводит к изменению дипольных компонент.
При повороте системы координат в пространстве без смещения ее начала
происходит перераспределение величин между компонентами каждого члена и-
го порядка в мультипольном разложении. Более конкретно, каждая
мультипольная компонента в новой системе координат выражается как сумма
произведений компонент этого же порядка в исходной системе на
коэффициенты, определяемые углами поворота осей координат.
Общие выражения для вычисления новых мультипольных компонент любого
порядка при изменении системы координат в принципе могут быть получены на
основе известных теорем сложения для сферических функций.
Приведем эти выражения для мультиполёй 1-го и 2-го порядков. При
параллельном переносе осей декартовой системы координат xyz и
расположении начала новой системы x'y'z' в точке с координатами хс> У С'
zc новые мультипольные компоненты выражаются через исход-
203
ные следующим образом:
Аю =Аю, Ац =^i 1 > fin = Вц,
А2д = А20 - 2zc А ю + хс А ц + Ус В и >
А21 = A2i - хсАю-zcAn, В21 = Вц ~ycAi0-zcBа, ¦ (3.220)
A2i =Ац - - хсАх i + -yc В11,
2 2
Вц ~Вц - -усАи - -хсВц.
2 2
При повороте осей декартовой системы координат на углы ах, ау, аг
относительно соответствующей оси (против часовой стрелки при наблюдении
