Биомагнитные измерения - Кнеппо П.
ISBN 5-283-00557-7
Скачать (прямая ссылка):
порядков, электрическое и магнитное поля которых однозначно определяются
компонентами обычных электрических мультиполей, воспользуемся тензорными
свойствами мультиполей, позволяющими таким образом повернуть систему
координат в пространстве, чтобы данный мультиполь представлялся в виде
совокупности осевых мультиполей [32]. Например, при построении осевого
мультиполя второго порядка - квадруполя - исходные диполи расположены на
одной прямой, проходящей через начало координат, а векторы их дипольных
моментов-ориентированы вдоль этой же прямой, как показано на
М1Z
А ю z
(3.229)
^ 4паг3
4паг3
1*ом1У Ио^юУ
4 7Г г3 4 7гг 3
(3.230)
209
Рис. 3.5. Построение квадрупольного генератора (осевого токового
квадруполя) из двух дипольных генераторов
рис. 3.5 для частного случая, когда диполи расположены на оси z
координатной системы. Исходя из (3.229) и (3.230) и выполняя предельный
переход, получим для электрических и магнитных полей осевых квадрупольных
генераторов, ориентированных вдоль координатных осей: по оси х
Ч> =
1
47таг1
(2z2 -х2 -у2)+ЗА& (х2 - у2)
вх = о, в
4itr5
2 nr3
у ~ ,л20 , л2 2
i
xz,
(3.231)
в^аЦ>х,-Ш-а}?хг.
по оси у
вх =-
4 7ТГ
1_______
47Tors
ЗД0
2 77 Г3
-^J0) (2z* -X2 - у2) +3Ag> (x2 - у2)
477rs
A$ yz =- Apjyz,
3 До a fv) ^
Яу =0, 2o V * ----------- Л
477r5 2flr
по оси z
= ---- A$ (2z2 - x2 -y2),
Wvy 2 2 >
(3.232)
Bx = 210
8 77 or* ЗДо
8 77Г5
-A$yz, By = A&XZ, Bz =0,
8777*
(3.233)
где А$,А^%},А$,А$},А$ - не равные нулю компоненты соответствующих осевых
квадруполей.
Далее повернем систему координат в пространстве так, чтобы матрица
компонент рассматриваемого квадрупольного источника общего вида стала
диагональной. При этом обращаются в нуль все квадрупольные компоненты,
кроме двух, Аг0 иЛ22. Полученный квадруполь можно представить в виде двух
осевых квадруполей, направленных по любой паре осей координат. Компоненты
осевых квадруполей однозначно определяются по компонентам А2 о и А22
повернутого исходного квадруполя:
для осевых квадруполей по осям х и у
А$ = -(А20 - 2Агг), А<$ =- - (Аго -2А2г),
А&> = 1(А20+1А22), А& = ^(Аго+2А12);
(3.234)
для осевых квадруполей по осям у и z а(у) - пл.. д O') - л.. А О) = А*п -
2А**•
/*20 - LA 22> л22 а22, А20 -Л20 *Л2 2,
для осевых квадруполей по осям х и z А(tm) =-2Агг, А<*> =А22,АЦ) =А20+2А22.
(3.235)
(3.236)
Подставляя эти выражения в (3.231)-(3.233), находим, что все три варианта
замены исходного квадрупольного генератора осевыми квад-руполями дают
следующие значения электрического потенциала и компонент магнитной
индукции:
ip =
1
Вх =-
А-паг3
ЗД0
^20 (2z2 -х2 - у2) +ЗА22(х2 -у2)
By =
87ГГ3
3 До
87ГГ5
(А 2о + 2A22)yz,
(А 2 о 2А2 2 ) xz,
(3.237)
(3.238)
3 До
В 2 = ------ ^2 2^-
2Ttrs
Таким образом, для сформулированного квадрупольного генератора компоненты
А20, A2i, В21, А22, В22 однозначно определяют его элек-
211
трическое и магнитное поля. В последнее уравнение входят компоненты
квадруполя с диагонализированной матрицей, т.е. матрицей, полученной
после соответствующего поворота системы координат. Аналогичным образом
можно сформулировать и токовые мультипольные генераторы следующих
порядков, порождающие электрическое и магнитное поля.
Введем локальную декартову систему координат 1г1ф1ф, начало которой
совпадает с точкой наблюдения полей и каждая ось ориентирована в
направлении возрастания соответствующей сферической координаты (рис.
3.6). Компоненты магнитной индукции в этой системе координат выражаются
через компоненты в системе координат хуг следующим образом:
Br =ВХ sin 9 cos ф +Ву sin 9 sin ф +BZ сos0, В$ = Bxcos0 cas\jj +ВУ cos9
sin ф -Bz sin 9, Вф =-Bx sin ф + By cos ф.
(3.239)
При помощи этих уравнений и (3.230) находим для дипольного генератора,
расположенного в начале системы координат xyz и ориентированного вдоль
оси z,
Вг =0, Вд=0, Вф= [n0l(4irr2)]A10sin9.
(3.240)
Аналогично, используя (3.238), находим для квадрупольного генератора с
ненулевыми компонентами Аю и А2 г ¦
Вг =0, Вф = ЗДо
3 До
А22 sin 9 sin2ф,
Вф = --
47ГГ
(А2о ~ 2^22 cos2V') sin 20
16 7ГГ
(3.241)
Таким образом, магнитные поля мультипольных генераторов имеют только
тангенциальную компоненту (направленную по касательной к сфере с центром
в начале координат).
Магнитное поле с индукцией В, создаваемое произвольным генератором в
однородном неограниченном проводнике, не может быть описано скалярным
потенциалом, ибо оно является вихревым во всем пространстве.
Следовательно, к нему нельзя непосредственно применить выше описанный
метод мультипольного разложения. Представим это поле вне области
генератора как сумму двух полей (рис. 3.7):
B=B!+B2, (3.242)
причем выберем в качестве составляющей Вг магнитное поле, со-212
Рис. 3.6. Основная декартова система координат хуг, сферическая система-
координат гвф и локальная декартова система координат
Ь'в1ф
здаваемое мультипильным эквивалентным генератором, который соответствует
