Биомагнитные измерения - Кнеппо П.
ISBN 5-283-00557-7
Скачать (прямая ссылка):
однородных областей расположен биоэлектрический генератор. При
исследовании на клеточном уровне рассматривается истинный, или первичный,
генератор биологического происхождения, находящийся в мембранах клеток
возбудимых тканей. При исследовании на макроскопических уровнях обычно
переходят к эквивалентному генератору, распределенному по всему
рассматриваемому участку ткани или органу (нередко используют несколько
этапов такой аппроксимации, переходя к эквивалентному генератору нужного
уровня сложности).
Наличие областей с разными электрическими характеристиками оказывает
влияние как на электрическое, так и на магнитное поле био-
х dS = j - dL, (3.137)
178
электрического генератора. Для оценки этого влияния используются
интегральные уравнения электромагнитного поля.
Прежде чем перейти непосредственно к рассмотрению интегральных уравнений,
представим дополнительные соотношения - граничные условия, которые должны
выполняться на поверхностях, где имеют место разрывы характеристик поля
и, следовательно, теряют силу приведенные выше дифференциальные
уравнения. Поверхностные разрывы характеристик поля могут быть физически
обусловлены существованием поверхностно распределенных возбудителей
(источников или вихрей), а также скачкообразным изменением пассивных
характеристик среды на поверхностях раздела областей с разными
свойствами. Форма задания граничных условий в каждом случае определяется
конкретно решаемой задачей.
Исходные соотношения для формулировки граничных условий - это уравнения
(3.13) - (3.22). Ниже они будут конкретизированы для условий
электродинамики станционарных токов и для некоторых поверхностей разрыва
наиболее важных типов (индексы величин в формулах сохраняют вышеуказанный
смысл).
При помощи уравнения (3.21) с учетом (3.85) можно показать, что в
однородной проводящей области с удельной электрической проводимостью а
при наличии простого слоя источников тока с поверхностной ПЛОТНОСТЬЮ
ИСТОЧНИКОВ W(s выполняются соотношения
Е,п-Е,"= Wslo, (3.138)
_8", _ (3 139)
Эи Эи а
i^i - (^2 = 0, (3.140)
а при наличии двойного слоя источников тока с мощностью D$ выполняются
соотношения
Е1п-Е2"=0, (3.141)
3^1 Э $2
-Е------- =0, (3.142)
Эл Эи
<р2 - <р, = Ds/a. (3.143)
При решении некоторых задач встречаются поверхности с распределенными и
унипольными, и дипольными источниками, т.е. на которых одновременно
существует и простой, и двойной слои источников тока; на них происходит
разрыв как потенциала, так и напряженности электрического поля.
Типичной поверхностью разрыва магнитного поля является поверхность, по
которой текут поверхностные токи. При переходе через нее
179
векторный потенциал изменяется непрерывно, а тангенциальная компонента
магнитной напряженности претерпевает разрыв в соответствии с (3.14).
Другие типы разрывов магнитного поля, в том числе обусловленные границами
раздела областей с разными физическими (магнитными) свойствами, здесь не
рассматриваются.
Теперь определим граничные условия, связанные со структурой среды. Если
рассматривать неограниченное во всех направлениях пространство, когда
сторонние токи (первичный генератор) расположены в ограниченной его
области, то условием на "внешней границе" пространства, т.е. в
бесконечности, будет стремление к нулю всех характеристик
электромагнитного поля при удалении точки наблюдения от области
генератора в бесконечность. Основными внутренними граничными условиями в
проводящей среде являются условия на поверхностях раздела областей с
разными удельными электрическими проводимостями. Обычно допускают, что
первичный генератор целиком лежит внутри одной из однородных проводящих
областей.
Пусть две смежные однородные области разделены поверхностью, которая в
общем случае обладает некоторым сопротивлением по отношению к
пересекающему ее току. Это сопротивление характеризуется значением
проводимости на единицу площади поверхности по нормали к поверхности as.
При помощи (3.21) и (3.85) можно показать, что при переходе через такую
поверхность происходит разрыв как нормальной компоненты электрической
напряженности, так и электрического потенциала, причем граничные условия
имеют вид
Возможны следующие важные частные случаи этих граничных условий. Если
нормальная проводимость границы as бесконечно велика (области
непосредственно соприкасаются), то (3.146) сводится к уравнению
° 1 Eln ~ ^2П - О,
(3.144)
(3.145)
<р2 - = -
(3.146)
'Pi ~ Р2=0-
(3.147)
Если удельная электрическая проводимость одной из соприкасающихся
областей, например области 2, равна нулю (эта область является
диэлектрической), то (3.145) сводится к уравнению
а (3.146) - к уравнению (3.147). Если удельная электрическая проводимость
одной из соприкасающихся областей, например области 2, бесконечно велика
(эта область является сверхпроводящей), то (3.145) сводится к уравнению
Условия (3.144) - (3.147) характерны для границ между различными
органами, тканями и жидкостями биологического объекта, условия
