Биомагнитные измерения - Кнеппо П.
ISBN 5-283-00557-7
Скачать (прямая ссылка):
divl~/г) = + J* grad( j)' (3103)
rotl^-)=I^--------J** grad |j ' (3.104)
/ divl-\ dV= f - J*-dS, (3.105)
R j s R
I rot I -) dV - J*xcfS, (3.106)
R I S R
где S - замкнутая поверхность, ограничивающая область пространства V.
Подставим (3.100) в (3.37), преобразуем подынтегральное выражение при
помощи (3.104) и учтем, что операция ротора выполняется по координатам
точки наблюдения. Тогда первый член подынтегральной суммы обратится в
нуль, и для магнитной индукции получим выражение
В(г)= - / J*xgrad,0 / l\dF (3.107)
4 и У \ R I
(индекс г0 указывает, что операция градиента выполняется по координатам
текущей точки в области генератора).
Преобразуем последнее уравнение при помощи (3.104) и (3.106), принимая во
внимание, что все пространственные производные берутся по координатам
текущей точки в области генератора. Если генератор J* занимает конечную
область пространства, то поверхность S всегда можно выбрать так, чтобы
интегралы в (3.106) обратились в нуль. В итоге получаем для магнитной
индукции
В (г) = - J Г0< J* dV. (3.108)
4 я у R
168
Преобразование (3.101) при помощи (3.103) и (3.105) дает для
электрического потенциала
чР1(г) =-^- J J*-gradr 4яа у
iV.
(3.109)
Вместе с тем для магнитной индукции можно получить векторное уравнение
Пуассона, исходя из (3.84) н (3.6) и учитывая векторное соотношение
в котором первый член правой части равен нулю в соответствии с (3.4). В
результате получается уравнение
Аналогично (3.107) для этих условий можно получить выражение
Сопоставление последних двух уравнений с (3.108) и (3.107) показывает,
что в общем случае магнитное поле определяется полной плотностью тока J,
тогда как для однородного неограниченного проводника оно определяется
только плотностью стороннего тока J*, так как магнитное поле токов,
обусловленных электрическим полем (куло-новской составляющей Полного
тока), оказывается равным нулю.
Приведенные выше уравнения справедливы для генератора фактически любой
структуры, т.е. на генератор в виде векторного поля объемной плотности
стороннего тока J * не были наложены какие-либо существенные ограничения.
При этом, как показывают уравнения (3.101) и (3.108), в однородной среде
электрическое и магнитное поля определяются возбудителями поля генератора
двух видов - источниками (divJ*) и вихрями (rotJ*) соответственно,
которые являются математически независимыми (более подробно вопрос об их
зависимости обсужден в конце этого параграфа).
При решении электродинамических задач, однако, нередко используются
идеализированные конфигурации (структуры) генератора, его возбудителей и
полной плотности тока, облегчающие математическое описание конкретных
объектов исследуемой электродинамической системы. К таким конфигурациям
относятся поверхностно распределенные (поверхностные), линейно
распределенные (линейные) и точеч-
rot rot В = grad div В - ДВ,
(3.110)
ДВ =-М0 rot J,
(3.111)
решение которого имеет вид
B(r). I V.
В(г) =
411 у R
(3.112)
(3.113)
169
ные генераторы или возбудители. Ниже рассмотрены наиболее важные из них.
Источник тока, распределенный по некоторой поверхности S, называют
простым слоем источников тока, а его интенсивность выражают поверхностной
плотностью источников Ws. По аналогии с (3.101) можно получить следующее
выражение для электрического потенциала простого слоя источников тока в
однородной неограниченной среде:
где dS - элементарная площадь поверхности простого слоя.
Поверхностный источник другого типа, называемый двойным слоем источников
тока, получается в результате предельного перехода при сближении двух
параллельных простых слоев с равными по абсолютной величине, но
противоположными по знаку плотностями источников в смежных точках. При
этом расстояние между слоями стремится к нулю, плотность источников
стремится к бесконечности, а произведение плотности на расстояние
остается постоянным и характеризует интенсивность результирующего
двойного слоя. Это произведение называется поверхностной плотностью
дипольного момента, мощностью или моментом двойного слоя источников.
Используя (3.114) для каждого из исходных простых слоев, получим в
результате указанного предельного перехода следующее выражение для
электрического потенциала двойного слоя источников с мощностью D$ :
где dS - векторная элементарная площадь поверхности двойного Э
слоя и производная по единичной нормали к этой поверхности п,
Ъп
направленной от отрицательной к положительной стороне двойного слоя.
Телесный, или пространственный, угол, под которым видна поверхность S из
точки наблюдения, определяется как
1 W с
9(0 = J -- dS,
(3.114)
47ГЦ s R
(3.115)
П = - / grad,0
S
(3.116)
где
<Ш =- gradrQ
dS
дп
d S
170
- элементарный телесный угол (его значение положительно, когда единичная
нормаль к поверхности S направлена от точки наблюдения). Теперь (3.115)
можно записать в виде
*(г) I <3117>
и для равномерного двойного слоя (величина D$ постоянна по всей
