Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
т __ 12jt rg І з j
Если на частице находится монохроматический излучатель с частотой о)0, то воспринимаемая наблюдателем частота света (вышедшего вдоль или против г;) определяется по формуле (см. § 5 гл. 3)
г !+-
Первый множитель после (O0 описывает замедление времени в гравитационном поле, второй — эффект Доплера. Для частицы, движущейся на гкрит, плоскость орбиты которой проходит через луч зрения наблюдателя, имеем: в момент движения к наблюдателю со =
(O0 — фиолетовое смещение; в момент движения от наблюдателя: со = J^-Co0 — красное смещение; для покоящегося источника с тем же гкрит = Srg: со = оз0 — красное гравитационное смещение.
Ближе к тяготеющему центру в интервале 3/2 ^ г ^ 3 расположены неустойчивые круговые орбиты. Скорость движения по последней из них (неустойчивой) сг = 3/2 равна световой v = с. Это соответствует бесконечной энергии E = оо. Ближе к гравитационному радиусу (напомним, что он соответствует в принятых единицах г = 1) вообще нет круговых орбит; это было отмечено еще Эйнштейном.
§ 8. Движение релятивистской частицы в кулонов ском поле
Отвлекаясь несколько в сторону, рассмотрим следующую задачу: проанализируем круговое движение заряженной частицы в сильном кулоновском поле. Выводы этой задачи окажутся полезными как аналогия для понимания особенностей строения плотных звезд.
Заряженная частица в сильном поле будет двигаться с релятивистской скоростью. Уравнение движения заряда е в постоянном поле Е* записывается в виде ДВИЖЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ЧАСТИЦЫ
127
Подставляя для нашей задачи JE* = Q—заряд центрального
тела, п — единичный вектор в направлении радиуса и р = =-mv^2 XJ ,,получаем для кругового движения заряда в куло-
I1-H2
новском поле
(3.8.1)
('--5-Г
eQ
г
Когда г 0, то V •
mvr
с. Перепишем (3.8.1) через момент импульса
а =
eQ
Из этого выражения видно, что при стремлении радиуса орбиты к нулю (г 0) и, следовательно, v ->¦ с, момент стремится не к нулю, как в нерелятивистской теории, а к конечной величине
^min
= 6I
Устойчивые орбиты
Неустойчивые орбиты
Umin
а/тпсгд
Разумеется, сказанное останется справедливым, если мы будем рассматривать движение релятивистской частицы на круговой орбите в ньютоновском поле тяготения. Такое рассмотрение, очевидно, непоследовательно, ибо там, где скорость частицы на круговой орбите становится сравнимой с с, там сказываются и изменения в законе тяготения Ньютона. Однако полезно запомнить (это пригодится для дальнейшего), что учет только эффектов специальной теории относительности (СТО) приводит к конечному моменту при нулевом радиусе орбиты.
Итак, в нерелятивистской теории есть устойчивые круговые орбиты с любым г. При г —0 момент а также стремится к нулю (рис. 13). В непоследовательной теории, учитывающей только эффекты СТО, круговые орбиты могут иметь любой радиус г. При г ->- 0 момент а const (см. рис. 13). В ОТО имеется минимальный радиус круговой орбиты гтщ, на которой запас устойчивости обращается в нуль, и соответствующий ему момент amin (см. рис. 13)
Рис. 13. Зависимость радиуса круговой орбиты г от момента а: 1 — в ньютоновской теории; 2 — в специальной теории относительности; 3— в общей теории относительности. 128
СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНОЕ ПОЛЕ "ҐЯГОЇЕНЙЯ [ГЛ 3
§ 9. Гравитационный захват нерелятивистской частицы
Разберем важный для физических приложений случай движения тела, имеющего на бесконечности скорость V001 пренебрежимо малую по сравнению сси соответственно E — 1. Проследим качественные особенности движения такого тела при разных а. Это движение на графике E, г изображается горизонталью E = 1 (см. рис. 12). Если момент импульса на бесконечности меньше аКр = 2, то горизонталь E = 1 не встречает кривой поворота E = E (г, а) и, значит, траектория частицы заканчивается на сфере Шварцшильда.
При акр = 2 траектория навивается на окружность. Если же а > 2, то тело снова уходит на бесконечность.
Когда а мало отличается от акр = 2, частица, прежде чем уйти на бесконечность или «провалиться» кг^, совершает много оборотов вблизи г = 2. Асимптотическая формула для числа оборотов имеет вид (Зельдович, Новиков, 1964b)
N- - la(fl~2)
Вернемся теперь к вопросу о гравитационном захвате. В ньютоновской теории частица, прилетающая из бесконечности, если она не ударяется о поверхность центрального тела, снова улетает в бесконечность — гравитационный захват невозможен. В эйнштейновской теории, как мы видели, частица са<2 гравитационно захватывается, и она уже не уходит в бесконечность. Сечение захвата определяется соотношением
G9 = 4я ^Jr2gf ^00 < с. (3.9.1)
Сравним этот захват с «геометрическим захватом» частицы тяготеющим шаром радиуса R в ньютоновской теории, т. е. со случаем, когда частица вблизи периастра наталкивается на поверхность шара. В этом случае сечение захвата будет
aH = ZiR2 (1 + 2GmIv2ooR). (3.9.2)
Сравнивая (3.9.1) и (3.9.2), видим, что в релятивистском случае захват происходит эффективно так же, как в ньютоновской теории с центральным телом радиуса R = 4 rg.
