Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
= (3.2.2а)
Перед dr стоит множитель, отличный от единицы, что отражает факт неевклидовости геометрии дространста. Из этого следует, например, что расстояние между двумя близкими окружностями, описанными в одной плоскости вокруг центрального тела и имеющими длины Z1 и Z2, равно не 12 ^J1, а
Z2-Zi I, _ 2 GM V-Vi 2л \ гс2 ] '
Последнее слагаемое в (3.2.1) есть (умноженный на с2) квадрат промежутка времени т, текущего в данной точке:
Дт=]/і-^Д*. (3.2.2Ь)
Вдали от тела при оо At = A t. Чем ближе точка наблюдения к телу, создающему поле, тем медленнее течет время, т. е. данному промежутку времени на бесконечности A t соответствует все меньший промежуток At. При г 2GMJc2 Ax ->- 0.
Найдем в поле Шварцшильда ускорение свободного падения тела, скорость которого невелика с). G помощью выражения (1.6.1 Ь) ускорение свободного падения F для пробной частицы записывается в следующем виде:
F = Yfj*= . (3.2.3)
rH1-W-)
Мы видим, что при г = 2GMlc2 сила тяготения становится бесконечной. Это свидетельствует о том, что центральное тело, если оно статическое, заведомо не может иметь радиус меньше 2 GMlc2. Используемая выше неподвижная недеформирующаяся сферическая система координат применима также только при 2 GMlc2. При меньших г интервал (3.1.1) уже не может быть приведен к виду (3.2.1). Этот критический радиус rg = 2GMle2 носит название 112 СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНОЕ ПОЛЕ "ҐЯГОЇЕНЙЯ [ГЛ 3
гравитационного, а сферу радиуса rg называют сферой Шварцшильда. Заметим, что нестатическое тело может иметь размеры меньше гравитационного радиуса (см. § 12 гл. 1), однако мы не будем здесь останавливаться на этом.
На расстоянии, большом по сравнению с rg, поле Шварцшильда есть обычное поле тяготения ньютоновской теории с гравитационным потенциалом ф = — GMfr1 а выражение для ускорения соответственно F = — GM/r2. Гравитационный радиус Солнца 2,96 км, Земли 0,443 см. Радиусы Земли и Солнца много больше их гравитационных радиусов. Следовательно, вне Солнца, Земли и других обычных звезд и планет гравитационное поле с огромной точностью есть поле Ньютона. Внутри вещества решение Шварцшильда (3/2.1) неприменимо.
§ 3. Поле тяготения внутри звезды
Рассмотрим теперь свойства сильного поля тяготения внутри покоящегося вещества. Здесь 4-мерный интервал записывается в виде (3.1.11)
ds2 = - ^dr2 - г2 (dQ2 + sfc2 бйф2) + е* Wdt2. (3.3.1)
Коэффициенты е%(г\ описывающий отклонение геометрии от евклидовой, описывающий изменение темпа течения времени, определяются распределением вещества (подробнее см. § 3 гл. 10 об уравнении равновесия звезды):
г
^ = ргЧг> (3.3.2) о
оо
* = ехр 5 (рс* + Р) re* - dr, (3.3.3)
Г
где г — радиус звезды, на котором р = 0. Напомним, что р — плотность вещества, [включающая не только сумму масс частиц единицы объема, но и их энергию (движения внутри тела и взаимодействия *), кроме гравитационного).
Вне звезды, в вакууме, выражения (3.3.2) и (3.3.3) дают соответственно
в
о
*) Конечно, здесь имеются в виду только близкодействующие силы; крупномасштабные электрические и магнитные поля здесь не рассматриваются (см. об этом §'6 гл. 12). §3]
ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ ВНУТРИ ЗВЕЗДЫ
ИЗ
Эти выражения совпадают с приведенными в предыдущем параграфе, если масса записывается следующим образом:
R
M = 4я J ргаА\ (3.3.4)
о
Напомним, что вследствие неевклидовости пространства элемент объема dV= 4яех/2r2dr =f= 4 nr2dr. В интеграле (3.3.4) стоит 4nr2dr, а не dV. Как будет показано ниже (§ 6 гл. 10), замена dV на 4nr2dr связана с влиянием тяготения на массу тела.
Приведем другое выражение для массы покоящегося вещества, полученное Толменом (1930):
R
M = 4я J (р + 3-J-) €'/«+V2 гЧг. (3.3.5)
о*
Естественно, для статического распределения (3.3.4) и (3.3.5) дают одинаковые результаты.
Из формул (3.3.2) видно, что коэффициент > 1, a (так же, как и вне тяготеющей массы), поэтому внутри тела отклонение геометрии от евклидовой носит тот же характер, что и вне его и dV > 4 nr2dr, а время течет медленнее, чем на бесконечности.
Из формулы (3.3.2) следует, что 1, когда г->- 0; метрика при этом приобретает галилеев вид. Это, конечно, не означает, что пространство здесь меньше искривлено, чем в других точках. Дело в том, что мы пользуемся сферическими координатами и условие г 0 означает, что берется малая окрестность около центра, а в малой окрестности любой точки метрика галилеева. Кривизна пространства зависит от V и имеет размерность см"2; следовательно, эффекты, вызываемые кривизной, уменьшаются пропорционально квадрату линейного размера. Поэтому при г 0 кривизна пространства не проявляется и ех 1 *).
В действительности гауссова кривизна (см. § 4 гл. 1) пространства Cq в центре звезды больше, чем в других местах. Величина Cq дается формулой [(см. формулу (13) § 8 гл. 1)]:
cO=-Tj^l- (3-3-6)
Так как в центре звезды плотность максимальна, то и Cq максимальна. Конечно, не надо думать, что из (3.3.6) следует евклидо-вость пространства вне звезды (где р = 0) и даже в сильном поле вблизи звезды. Формула (3.3.6) дает только среднюю кривизну
