Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
const —
г
TV
4—
(3.5.9)
/ V \2
Здесь один множитель --описывает гравитационное красное смещение, второй множитель --j связан с искривлением
траектории лучей в йоле тяготения, множитель
/ v \2 Л1+-).
связан с доплер-эффектом, а второй такой же множитель с абер-
Vй
рацией. Из (3.5.2) следует, что 1--\ = 1--• ——— и при
C2 Г Го — г
8
T^Tg
I00 = const (l - -^f-J . (3.5.10)
Закон изменения ret* уже найден (3.5.8). Таким образом, мы получаем асимптотическое выражение, показывающее, как далекий наблюдатель видит изменение яркости падающего источника при г-* г,:
_ 20 і
Ioo = const е rS (3.5.11)
Частота принимаемой далеким наблюдателем световой волны стремится к нулю, по аналогичному закону, только показатель экспоненты вчетверо меньше по модулю.
Как мы увидик далее в § 10 гл. 3, при г -^rg лучи света, вышедшие из источника по определенному направлению, искривляясь 122
СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНОЕ ПОЛЕ "ҐЯГОЇЕНЙЯ [ГЛ 3
в гравитационном поле, могут длительно кружить вблизи центра тяготения, прежде чем уйти к далекому наблюдателю. Эти лучи создают «среол» вокруг тела (если его размеры меньше 1,5 Tg). Несмотря на то, что лучи от ореола кружат вблизи rg, яркость ореола экспоненциально быстро затухает. В выражении (3.5.11) «ореол» не учитывается. К этому вопросу мы вернемся в § 6 гл. 11.
§ 6. Потенциальные кривые движения
После выяснения основных особенностей радиального движения перейдем к общему случаю нерадиальных траекторий. Впервые нерадиальные траектории в шварцшильдовском поле исследовал Хаджихара (1931). Полная классификация типов движений имеется, например в книге Богородского (1962): см. также работы Галкина (1961) и Метцнера (1963). Анализ принципиальных вопросов устойчивости при движении по круговым орбитам дан в работе Каплана (1949а).
Траектория частицы всегда лежит в плоскости. Если выбрать плоскость 0 = я/2, то уравнения движения в этой плоскости, записанные в полярных координатах, имеют вид
172 ^ 0,1
(-?)'= ¦ («.И
(^/ = Wt1-H- <ЗЛ1Ь»
Для удобства уравнения записаны в безразмерных величинах. Здесь г—шварцшильдовская радиальная координата, измеренная в
единицах гравитационного радиуса rg = 2GM/с2; dx = dr/ Yi- 1/г — элемент радиального расстояния; т — время, измеряемое локальным наблюдателем в единицах rg!c; а — момент импульса, измеренный в единицах TYiCTg, E — энергия, измеренная в единицах тс2, т — масса пробной частицы. В энергию включена масса покоя, поэтому для частицы, покоящейся на бесконечности, E2 = 1*). На расстояниях, больших по сравнению с гравитационным радиусом, т. е. при г 1 и при малой по сравнению с единицей энергией движения: E — 1 1, мы получаем из (3.6.la,Ь) уравнения кеплеровой задачи в ньютоновской теории тяготения. Действи-
*) Полная энергия частицы E, сохраняющаяся при движении, выражается через скорость V и ?оо точно так же, как и при радиальном движении. Дейст-вительно, из (3.6.1а) и (3.6.1b) находим Е/тс2 = Vgoo/ V^ — v2Icl- Эта формула справедлива для любого статического поля (см. Ландау и Лифшиц, 1967). В сферическом поле сохраняется момент вращения a = p^f mcrg =
E vq> г _г, dm ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ ДВИЖЕНИЯ
123
тельно, при этих условиях слагаемым а2/г3 в (3.6.1а) можно пренебречь, dx ж dr, E2 — 1 ж 2 (Е — 1). В этом случае Hr — потенциал тяготения, a2Ir2 — потенциал центробежных сил. Равенство нулю числителя в (3.6.1а) дает, очевидно, потенциальную кривую радиального движения при данном а.
Для ньютоновской теории такая кривая E = E (г, ах) для фиксированного (аг) изображена нарис. 9. При любом аг кривая имеет минимум. Качественные особенности движения пробной частицы видны на рис. 9. Движение происходит при постоянной энергии E1 и изображается горизонталью E = E1. Частица -с момента аг перемещается вдоль горизонтали до соответствующей кривой поворота E = E (г, аг), затем движется в обратном направлении снова до пересечения с той же кривой и т. д., совершая финитное движение в «потенциальной яме». В соответствии с тем, что в этом примере выбрана E1 < 1, а энергия, как и в ОТО, отсчитывается от тс2 (от 1 в наших единицах), частица не уходит в бесконечность.
Если энергия частицы E2 ^> Ї (см. рис. 9), то она приходит по гиперболе из бесконечности, достигает минимального г, соответствующего пересечению E с кривой E = E (г, аг) и снова уходит в бесконечность. Так как потенциальные кривые при г 0 стремятся к бесконечности, E-* оо (см. рис. 9), то при любой большой энергии частицы, обогнув притягивающий центр, уйдет снова в бесконечность, разумеется, если она не натолкнется на поверхность притягивающего тела. Гравитационный захват в ньютоновской теории двух точечных тел невозможен.
Обратимся теперь к релятивистской теории, к точному уравнению (3.6.1а). Здесь вид потенциальных кривых иной (рис. 10). Благодаря слагаемому а2/г3 потенциальная кривая не поднимается неограниченно вверх, как в ньютоновской теории, а загибается вниз, стремясь к нулю на гравитационном радиусе г = 1. Одна из таких кривых изображена на рис. 10. Кривая имеет и минимум и максимум.
