Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Из (3.13.1) и условия 1 + / ]> 0 видно, что при любом выборе F и /величина г может обращаться в нуль только при F/r< 1, т. е. только в Д-области. Легко видеть также, что положительному р соответствуют положительные F.
Важным свойством решения Толмена (3.13.1) является следующее. Произвольные функции / и F1 определяющие решение, можно задавать начиная от центра шара, где г = 0, и дальше по радиусу М. При этом задание функций вблизи центра, скажем, до радиуса Rо, никак не зависит от того, как будут задаваться функции вне сферы R0.
*) В действительности после интегрирования уравнения с г появляется еще одна функция от Л. Однако если выбран масштаб по оси R (для фиксированного т), то эта функция уже не произвольна.
**) Если в ходе эволюции г' обращается в нуль, то это означает, что возникает пересечение сферических слоев пылевого вещества. § 13] ВНУТРЕННЕЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ НЕСТАТИЧЕСКОГО ШАРА
141
Иными словами, свойства решения внутри лагранжевой сферы R0 никак не зависят от распределения и движения (сфериче-ски-симметричного!) вещества вне этой сферы. Внешнего вещества может совсем не быть или оно может простираться до бесконечности, это никак не влияет на вещество вблизи центра.
Сделанный вывод и дает основание не рассматривать влияние поля тяготения неограниченно простирающейся материи Вселенной *) на поле вблизи изолированного тела.
Если рассматривать не пыль, а вещество с отличным от нуля давлением, то вывод изменится лишь в том отношении, что при изменении решения вне сферы R0 внутрь будет распространяться возмущение со скоростью звука. До тех мест, до которых это возмущение еще не успело дойти, решение по-прежнему не зависит от внешнего вещества. Итак, внешнее вещество в сферически-сим-метричном случае в ОТО (и только в этом случае!) гравитационно не влияет на внутреннее.
Точно так же, как и в теории Ньютона, сферически-симметричное распределение вещества (движущегося только радиально!) не создает гравитационного поля внутри сферической полости. В последнем легко убедиться, так как в вакууме в полости сферическое поле может быть только полем Шварцшильда [Биркгоф (1923); см. § 2 гл. 3], а это поле имеет особенности в центре, чего в пустой полости быть не может.
Сделаем в заключение следующее замечание. В ньютоновской теории внутри полой сферы нет поля, но потенциал ф, принимаемый равным нулю на бесконечности, конечно, не нуль. Он равен работе, которую нужно затратить, чтобы удалить частицу из полости на бесконечность. В полости ф = const =f= 0 и потенциал равен ^
ф = _ J P^f (3.13.2)
Ri
где R1 — внутренняя граница вещества. Добавление сферического слоя вещества к уже имеющейся сфере, конечно, ничего не изменит внутри, не создаст никакого поля, но изменит нормировку потенциала. Если по-прежнему считать, что ф«, = 0, то внутри добавленной сферы потенциал увеличится на постоянную величину, даваемую интегралом (3.13.2), где R1 и р теперь относятся к добавленной сфере.
То же относится и к величине g00 в системе координат Шварцшильда. Эта велитана играет роль потенциала. Внутри полости эта величина постоянна, но не равна своему значению на бесконечности: g00 = const Ф gooloo. Мы вернемся к этому в § 7 гл. 10.
*) Если, конечно, движение этой материи однородно и изотропно. См., например, Я. Б. 3 е л ь д о в и ч, И. Д. H о в и к о в, Релятивистская астрофизика, раздел IV книги, «Наука», 1967. 142 СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНОЕ ПОЛЕ "ҐЯГОЇЕНЙЯ [ГЛ 3
§ 14• Метрика Крускала
Вернемся к решению Шварцшильда в вакууме. Мы видели, что система координат Шварцшильда (3.2.1) применима только в й-области и не охватывает всего пространства — времени. Система Леметра (3.12.1) применима и в і?- и в Г-области. Однако, как
показал Крускал (1960), и эта система в некотором смысле не полна.
Для пояснения сказанного оставим пока в стороне вопрос о «сшивке» решения в вакууме с решением для вещества, создающего поле тяготения и будем продолжать решение в вакууме на максимально возможную мировую область. Такой областью в координатах Леметра й, т [с Г+-областью для конкретности, т. е. с заменой х-)—т в формулах (3.12.1) — (3.12.5)] является на рис. 19а полуплоскость правее линии особенности г = 0. Охватывает ли эта область все пространство — время, т. е. историю всех движущихся частиц?
Рассмотрим в такой системе частицу, свободно падающую к гравитационному радиусу г = rg. Закон ее движения в расширяющейся системе Леметра записывается в виде (rg = 1, с = 1)
Рис. 19а. Мировая линия свободно падающей частицы (а) в расширяющейся системе Леметра.
const = R + 2т + 4 Ц- (R + т)]А + 2 In
[1
+і
(3.14.1)
Мировая линия этой частицы изображена на рис. 19а. Эта линия асимптотически подходит к г = rg. Но ведь мы знаем (см. §5 гл. 3), что частица за конечное собственное время достигает г = rg и движется дальше. Однако расширяющаяся система Леметра не охватывает тех событий в жизни частицы, которые происходят после достижения ею rg. Следовательно, эта система не полна. Она описывает полностью историю только вылетающих из-под сферы Шварцшильда частиц, но не описывает всей истории падающих частиц. Для сжимающейся системы Леметра (с Г .-областью) сказанное можно повторить для прошлого частицы, летящей от гравитационного радиуса (рис. 196). Таким образом^ система Леметра не охватывает всех событий в сферическом поле тяготения в вакууме и в этом смысле не полна. § 14]
