Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
выступает в качестве источника нового набора траекторий и т. д. Если
цепочк!а таких траекторий как раз умещается на толщине пластинки,
создавая "скин-слой" и на нижней ее поверхности, то образец будет
казаться гораздо более прозрачным для радиочастотного поля, чем можно
было бы ожидать. Но как только электроны нижней траектории начнут
ударяться о поверхность, картина резко изменится. Благодаря
дополнительным возможностям комбинации различных групп экстремальных
траекторий наблюдения здесь оказываются довольно сложными. Однако эти и
подобные им нерезонансные магнетсморфные явления могут дать весьма
обильную информацию о поверхности Ферми.
Циклотронная частота сон подобна частоте простого гармонического
осциллятора. Можно ожидать, следовательно, что энергия будет
квантоваться, причем порция энергии будет равна /гсон. Это справедливо,
хотя совершенно общее доказательство еще не может быть проведено.
•}5
а
6
в
§ 6. Квантование орбит
§ 6. Квантование орбит
349
Рассмотрим свободные электроны в магнитном поле. Для них справедливо
уравнение Шредингера
i(fv- 4а)Ч_8Ч,, (9.51)
где А - вектор-потенциал. Мы ищем стационарные состояния такой системы.
Выберем калибровку, при которой
А = (0, Нх, 0), (9.52)
так что ротор А дает магнитное поле Н, направленное по оси z.
Подставляя (9.52) в уравнение (9.51), получаем
43+U<9-53>
Это уравнение, очевидно, должно иметь решение вида
г|) (х, у, z) = e1(-^+kzZ)u(x), (9.54)
где функция и(х) удовлетворяет уравнению
и
% ' = (9.56)
Движение в направлении оси z, т. е. вдоль поля, не отличается от движения
свободного электрона, и вклад в кинетическую энергию точно такой же. Но
для определения характера движения в плоскости (х, у) надо решить
уравнение на собственные значения (9.55); его можно записать в виде
Й2 д2и (х)
1т -^гУи(х) = %'и(х)- (9-57)
2т дх2
Это есть не что иное, как одномерное уравнение Шредингера для волновой
функции и(х) простого гармонического осциллятора с частотой
и с центром в точке
Таким образом,
еН (9.58)
г = -М. 0 (0 я т (9.59)
v = | п -7j- j (9.60)
п+ ^)haH + -^k2z. (9.61)
350
Гл. 9. Поверхность Ферми
Это и есть искомый результат: энергия электрона представлена в виде суммы
энергии поступательного движения вдоль магнитного поля и квантованной
энергии циклотронного движения в плоскости, перпендикулярной магнитному
полю.
Возникает интересный вопрос: как вычислять число состояний? Пусть, как и
в § 7 гл. 1, мы имеем ящик со сторонами Lx, Lv, Lz. Составляющая кг
квантуется, как обычно, и расстояния между соседними значениями ее равны
2n!Lz. Из вида волновой функ-
Фиг. 167. Решение уравнения Шредингера для электрона в магнитном поле.
ции (9.54) следует также, что число р квантуется и расстояния между
соседними значениями р равны 2л!Ьу. Энергия не зависит от р, так что для
данной величины п, казалось бы, можно выбрать любую величину р из
бесконечной последовательности.
Фактически это не так. Как показывает выражение (9.59)г функция и зависит
от р через положение центра осциллятора
х =J_M = ZL.
соя т йн'
(9.62)
Это означает, что если электрон вылетает в направлении у со скоростью vy,
то он будет двигаться в магнитном поле по окружности с центром в точке х0
(см. фиг. 167). Эта окружность не должна быть слишком большой: точка х0
должна быть расположена
внутри ящика, ограничение
так что на положение центра накладывается
0 < х0 < Ьх.
(9.63)
В силу (9.62) это накладывает ограничение на область разрешенных значений
р. Эта переменная не только квантуется (с рас-
§ 6. Квантование орбит
351
стоянием между соседними значениями, равным 2я/Ьу), но и должна
удовлетворять условию
0<Р< ^Lx=e-§-Lx. (9.64)
Таким образом, имеется только
L
2 п
(9.65)
различных значений р. Каждый уровень энергии (9.61), соответствующий
данному выбору п и kz, /з-кратно вырожден. Магнитное поле, конечно,
разрушило нашу первоначальную схему квантования. Переменные кх, ку, kz,
которые были раньше координатами в k-пространстве, не являются более
"хорошими квантовыми числами"; заданным значениям совокупности этих
параметров не соответствует определенная волновая функция (9.54). Тем не
менее воспользуемся этим пространством и изобразим р новых уровней,
которые соответствуют некоторому значению энергии % (9.61), с помощью
поверхностей, соответствовавших этой энергии в первоначальной схеме. Если
не обращать внимания на координату z, то получается, что эти поверхности
(фиг. 168) представляют собой окружности в плоскости (х, у). Фактически
новые состояния не локализованы в той или иной точке окружности, а
вращаются по ней с частотой о)н- Мы можем классифицировать различные
уровни в магнитном поле, указывая окружности, на которых они расположены.
Действительно, можно убедиться, что полное число уровней, связанных с
данным макроскопическим объемом к-пространства, остается в новой схеме
тем же, что и прежде. Мы можем пользоваться соотношением (9.7); площадь-
между двумя изоэнергети-ческими поверхностями, разделенными энергией ЬЩ,
