Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
равна
2nmfr
[8J=-(9.66)
Пусть величина 6g равна кванту циклотронной частоты Ймн. Вспомним, что
плотность "разрешенных" состояний в обычной схеме квантования равна
(LxLy)/(2n)" на единицу площади плоскости (кх, ку) (ср. § 6 гл. 1). Таким
образом, числом состояний между двумя квантованными орбитами равно LXL..
.'2лт%-
"(2л)2 (9.67)
в силу (9.65).
Это и есть искомый результат. Он показывает, что влияние магнитного поля
сводится к тому, что оно, так сказать, создает квантованные орбиты в k-
иространстве и заставляет свободные
J
Фиг." 168. Схема квантования для свободных электронов. а - в отсутствие
магнитного поля; б - в магнитном поле.
§ 6. Квантование орбит
353
электроны "конденсироваться" на ближайших орбитах. Число состояний на
каждой орбите точно равно числу прежних "разрешенных состояний" в кольце,
в котором лежит орбита.
Что же происходит в общем случае, когда мы имеем дело с электронами в
кристалле? Для одной зоны применима квазиклас-сическая теория § 5 гл. 6.
Уравнение Шредингера (6.30) для эквивалентного гамильтониана в магнитном
поле имеет решения, которые удовлетворяют принципу соответствия и
квантуются с помощью формулы Бора, определяющей возможные значения
фазового интеграла:
р-dr = (п + у) 2nh.
(9.68)
Здесь п - целое число, у - фазовая поправка (типичное ее значение есть
1/2), а р и г - сопряженные переменные, обозначающие импульс и координату
частицы, движущейся по орбите.
Для импульса мы можем принять обычное соотношение
Р = йк + ТА>
(9.69)
а положение г электрона па траектории в координатном пространстве можно
вычислить с помощью формулы (9.45). В результате после тривиальных
геометрических преобразований получаем, что площадь орбиты в к-
пространстве квантована:
2я еН
-Ап--
ch
{п + у). (9.70)
Фиг. 169. Трубки, соответствующие уровням Ландау.
Из формул (9.61), (9.66) и (9.5) явствует, что этот результат уже был
получен для свободных электронов.
Для описания электронных уровней в магнитном поле требуется теперь
выполнить следующее построение в к-простран-стве. Выберем величину п. На
каждой плоскости, пересекающей поверхность Ферми и перпендикулярной
магнитному полю, нарисуем энергетический контур площади Ап. Соединим эти
контуры в непрерывную трубку, ось которой параллельна Н, а площадь
поперечного сечения постоянна (фиг. 169). Аналогично нарисуем трубки и
для других величин п. Предположим, что все "разрешенные точки" обычной
схемы квантования сконденсировались
354
Гл. 9. Поверхность Ферми
на ближайшей трубке. При этом получается ряд состояний, вырожденных по
энергии; теперь следует принять, что эти состояния вращаются вокруг
каждой трубки с циклотронной частотой, соответствующей данной орбите.
§ 7. Эффект де Гааза - ван Альфена
Квантование энергии приводит к некоторым интересным и поразительным
результатам. Энергия электронного газа как целого зависит от
напряженности магнитного поля. Но магнитная восприимчивость, которая в
основном диамагнитна (мы пренебрегаем здесь спиновыми эффектами) и не
зависит от температуры, осциллирует при изменении магнитного поля. Это
явление называется эффектом де Гааза - ван Альфена.
Чтобы рассмотреть этот эффект при произвольной форме поверхности Ферми,
можно поступить следующим образом. Запишем свободную энергию системы; для
случая частиц, подчиняющихся статистике Ферми - Дирака, она равна
F=N^ - kTjj In (1 + eK-Su/M1). (9.71)
i
Здесь сумма берется по всем возможным состояниям с энергией а химический
потенциал ? фиксирован путем задания числа заполненных состояний
[как, например, в случае (4.9)].
Для нашей системы квантованных уровней Ландау энергия равна
%1 = 9 (И + V. А*), (9.72)
где п - орбитальное квантовое число, как в (9.61), но, разумеется, каждый
такой уровень р-кратно вырожден [см. (9.65)]. Возьмем кристалл в виде
куба единичного объема. Согласно формулам (9.67) или (9.70), число
состояний в k-пространстве, приходящихся на учпсток трубки длины dkz (как
обычно, мы измеряем трубку в направлении вектора Н), будет равно
4n3d3*=2itWcdkz' (9.73)
Таким образом,
ОО ОО
F-Ni-kT J g In (1 +Иф [t-" + Ц] ) } dK
-оо 71=0
(9.74)
Чтобы оценить этот зверский интеграл, воспользуемся чисто математическим
кунштюком, известным под названием формулы
§ 7. Эффект де Гааза - ван Алъфена
355
суммирования Пуассона. Рассмотрим произвольную функцию / (х). В области п
< х <z п + 1 можно написать
00
/(?)= 2 e~2nixsgs, (9.75)
S=- 00
где
п+1
gs= | / (х) e2nix* dx. (9.76)
П
Это есть просто ряд Фурье типа (1.7). Теперь можно написать
ОО 00
^(п+т)= 2 <?-2lI,'s(n+1/2)gs= V e-(tm)sgs =
s= -ОО S=- 00
00 П+1
= 2 (-1)* j fi.x)e2jlixsdx. (9.77)
S=-oo n
Суммируя это выражение по всем интервалам изменения пере-
менной х, мы получаем
00 00 00 оо
2 1 ^ f {х) dx-(- 2 2 (- l)s | / (х) cos 2 nxsdx. (9.78)
n=0 0 s=l 0
Применим эту формулу к сумме по re в выражении (9.74):
оо оо
F = Nl-kT J {^- j In (< + exp[g-^; + v. "¦>]) dh_
- ОС О
ОО оо
-2trs J {ж(-1)'х
