Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
§ 5. Междузонные переходы
e(q, co) = l-t
4Я?2_ v I <k | eiq'r | k + q + g) |a 2 {Sg (k) -% (k-j-q+g)}
Zj (fcQ,)2_{$(k)_3(k + q+*)}a ~
k
§ 5. Междузонные переходы
307
где /к - сила осциллятора [см. (8.40)] для перехода между состоянием |к)
в валентной зоне и состоянием | к + g) (расположенным непосредственно над
первым в схеме приведенных зон) в зоне проводимости, причем разность
энергий указанных состояний равна величине Йсок- Поскольку волновой
вектор к изменяется непрерывно, сумма переходит в интеграл вида
е (0, <о) да 1 +
4яе2 Г / (to') JTd (<а') dm'
то J со'2 - со2 '
(8.72)
где Л^со') da'-число уровней в интервале йсо', для которых разность
энергий по вертикали составляет Йсо';
/ (со') - сила осциллятора, т. е. число порядка единицы для переходов в
рассматриваемом интервале частот.
Интерес представляет не столько эта формула для вещественной части
диэлектрической проницаемости, сколько выражение для мнимой части ее.
Обращение к дисперсионным соотношениям (8.29) и (8.30) показывает, что
коэффициент поглощения должен иметь вид
2соп (со) к (со) = j / (со') JTd ("') 8 ((о - со')
da' =
= ^fi/(co)^d((o). (8.73)
К тому же самому результату можно было бы прийти, заметив, что в
диэлектрическую проницаемость е (q, со) в формуле (5.45) входит мнимая
часть, определяемая параметром а, введенным в (5.1) в качестве постоянной
затухания возмущения, экранируемого системой электронов. Очевидно, этот
параметр играет ту же роль, что и параметр ширины линий в формуле (8.51),
являющейся, по существу, аналогом формул (5.45) и (5.57). Поэтому,
переходя в обратном направлении от (8.51) к (8.47) (фактически устремляя
к нулю ширину линии каждого перехода), мы вновь приходим к формуле
(8.73).
Поскольку функция Jf'd (со) в (8.73) описывает спектр значений разности
энергий двух зон - валентной и проводимости (обе энергии даются
непрерывными функциями, периодическими в обратной решетке), она имеет
только сингулярности ВанХова,
q if-"- Зона
Бриллюэна
Фиг. 143. Вертикальные междузонные переходы в полупроводнике.
308
Гл. 8. Оптические свойства
указанные в § 5 гл. 2. Наиболее важной из них является край полосы
поглощения, соответствующий минимальной (по вертикали) разности энергий
Йсо0, между зонами. Как показано в (2.72), в этой окрестности спектр
должен вести себя так, что
.Ж d{ со)~(со_со0)1/2. (8.74)
Следует отметить, однако, что величина hсо0 совсем не обязательно
совпадает с "энергетической щелью" ggaP между потолком валентной зоны и
дном зоны проводимости (см. фиг. 144). Эти
Фиг. 144. а - прямые переходы не обязательно соответствуют ширине
запрещенной зоны; б - переход с участием фонона.
точки могут быть расположены не вертикально друг над другом в k-
пространстве; наименьшее расстояние по вертикали между зонами может
несколько превышать &gap.
Тем не менее оптические переходы, соответствующие Йсо " " Sgap, можно
наблюдать, если допустить возможность одновременного испускания или
поглощения фонопа. Такие непрямые переходы, или переходы с участием
фонона, легко получаются во втором порядке теории возмущений. Процесс
разбивается на два этапа; например, вертикальный переход вверх-поглощение
фотона, и затем переход в подходящий минимум в зоне проводимости с
испусканием или поглощением фонона с достаточно большим волновым вектором
q. Заботиться о сохранении полной энергии в промежуточном виртуальном
состоянии не нужно; общим условием будет
/zco= ggap ± /jvq, (8.75)
где vq -частота фонона. Так как энергия мала (например,
0,03 эв) по сравнению с шириной запрещенной зоны, то результат выглядит
таким образом, как будто полоса поглощения начи-
§ S. Междузонные переходы
309
нается со значения &gap. Однако вероятность непрямых переходов
значительно меньше, чем прямых, и зависит от температуры через числа
заполнения фононных состояний, как в формуле (8.70).
Принятая выше трактовка электронных переходов в идеальных кристаллах
основана на простой одноэлектронной модели. Однако фактически при таком
переходе, как на фиг. 144, в конечном состоянии имеются как дырка в
валентной зоне, так и электрон в зоне проводимости. Если эти две частицы
немедленно не разойдутся, они смогут взаимодействовать. При этом, как
описано в § 7 гл. 6, образуется связанное состояние - экситон Ваннье -
Мотта. Полная энергия экситона оказывается меньше энергетической щели
между разрешенными зонами, из которых произошли рассматриваемые частицы.
Иными словами, в оптическом спектре ниже фундаментального края поглощения
возникают экситонные линии. Это явление особенно заметно проявляется в
ионных кристаллах, где экситоны Френкеля, хотя и "малого радиуса" и
практически неподвижные, характеризуются большими силами осцилляторов.
Последние отвечают атомным или молекулярным возбужденным состояниям, из
которых и произошли экситоны. В подобных материалах взаимодействие между
электромагнитным полем и чисто экситонными состояниями может оказаться
