Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
где f I Vlf2 — произвольные функции, причем І fi(cl - г) — потенциал для расходящейся сферической волны, а ~ f2(ct + г) — потенциал для сферической волны, сходящейся к центру.
9°. Принцип суперпозиции волн\ если в среде одновременно распространяется система п различных волн, описываемых скалярными потенциалами ф1, ..., фп и векторными потенциалами A1, ..., An, то потенциалы ф
V.1.4. ПРОДОЛЬНЫЕ СИНУСОИДАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ
559
и А результирующей волны равны суммам соответствующих потенциалов всех волн системы:
Tl Tl
ф = X ф« и А = X аі-
і = 1 і= I
Иными словами, каждая из волн распространяется в среде независимо от других, т. е. так, как если бы их не было. Результирующая скорость, смещение и ускорение каждой частицы среды равны векторным суммам соответствующих величин, обусловленных каждой из волн порознь.
Принцип суперпозиции упругих волн справедлив только для так называемых линейных сред, подчиняющихся закону Гука, т. е. в тех пределах, пока скорость распространения волн в среде не зависит от их интенсивности.
4. ПРОДОЛЬНЫЕ СИНУСОИДАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ
1°. Уравнением продольной волны называют зависимость от координат и времени потенциала (р скорости возмущенного движения среды или какой-либо другой величины, однозначно характеризующей зто движение.
2°. Продольную волну называют синусоидальной (гармонической), если колебания частиц среды являются гармоническими с одинаковыми циклическими частотами со, так что
ср = а(х, у, г) sin [cot - а(х, у, г)],
причем функции координат а и а удовлетворяют следующим дифференциальным уравнениям:
Aa1 + k2aj = 0 и Aa2 + kzaz = О,
где a, = a cos а, а9 = a sin a, k = - — волновое число, с —
с
скорость' волны, со — циклическая частота волны, Д — оператор Лапласа.
Функцию а(х, у, г) называют амплитудой волны, функцию Ф(х, у, z, t) = cof - а(х, у, г) — фазой волны, а а(х, у, z) — начальной фазой волны.
Для синусоидальной волны справедливо уравнение Гельмгольца: Дф + й2ф = 0.
3°. Волновой поверхностью или фронтом волны называют геометрическое место точек среды, в которых в
560
V.1. ОСНОВЫ АКУСТИКИ
рассматриваемый момент времени фаза волны имеет одно и то же значение. Различным значениям фазы соответствует семейство волновых поверхностей. В том случае, когда в среде распространяется кратковременное возмущение, фронтом волны называют границу между возмущенной и невозмущенной областями среды.
Уравнение семейства волновых поверхностей имеет
вид cot- a = C,
где С — константа, играющая роль параметра.
Волновые поверхности непрерывно перемещаются в среде и, вообще говоря, при этом деформируются. В случае однородной и изотропной среды скорость каждой точки волновой поверхности направлена по нормали к поверхности и равна скорости волны с, называемой фазовой скоростью волны.
4°. Волновые поверхности плоской волны представляют систему параллельных плоскостей. В однородной изотропной среде волновые поверхности плоской волны перпендикулярны к направлению распространения волны (направлению переноса энергии), называемому лучом. В анизотропных средах угол между лучом и волновой поверхностью равен 90° лишь для некоторых, вполне определенных направлений распространения плоской волны.
Уравнение плоской синусоидальной волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси ОХ,
имеет вид . , . , , .
(р = a sin (cof - Rx + Ci0),
а для волны, распространяющейся в противоположном направлении,
Ф = a sin (coZ + kx + а0), где Ci0 — начальная фаза колебаний точек среды, принадлежащих координатной плоскости YOZ. Если волна распространяется в идеальной среде, лишенной внутреннего трения и теплопроводности, то амплитуда волны а не зависит от х.
5°. Характеристикой синусоидальной волны служит длина волны X (пространственный период), равная расстоянию между двумя ближайшими точками среды, для которых разность фаз волны равна 2п:
X = *5 =сТ= ?,
k V
где T = — — период волны, V=A — частота волны.
V.1.4. ПРОДОЛЬНЫЕ СИНУСОИДАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ
561
6°. Экспоненциональная форма записи уравнения плоской синусоидальной волны имеет вид
(р = A exp i(k • г - Ш),
где А = ает — комплексная амплитуда, a = ^ — а0, ¦ 2п
к = — п — волновой вектор, п — единичныи вектор, А
указывающий направление распространения волны, г — радиус-вектор, проведенный в рассматриваемую точку
среды, і = J-І .
Экспоненциальная форма записи удобна для дифференцирования в волновых линейных уравнениях. Однако физический смысл имеет только вещественная часть экспоненциального выражения:
(р = Re[A exp i(k ¦ г - (of)
(символ Re означает вещественную часть комплексного выражения), к которой переходят при нахождении физических величин.
7°. Произвольная волна может быть представлена в виде совокупности синусоидальных волн с различными волновыми векторами, частотами, амплитудами и начальными фазами. Такое представление основано на возможности разложения периодической функции в ряд Фурье или выражения непериодической функции с помощью интеграла Фурье, а также на принципе суперпозиции волн. Совокупность синусоидальных волн, в результате наложения которых получается рассматриваемая волна, называют спектром последней. Совокупности значений амплитуд и частот этих синусоидальных волн называют соответственно спектром амплитуд и спектром частот.
