Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
C1
удовлетворяющий условию sin у = _ . Амплитуда боко-
вой волны в произвольной точке С зависит от Z.OO’С и обратно пропорциональна квадрату расстояния г' = О'С.
1°. Стоячей плоской волной называют волну, возникающую в результате наложения двух волн, распространяющихся во взаимно противоположных направлениях и удовлетворяющих следующим условиям: частоты волн одинаковы, амплитуды являются одинаковыми функциями координат. В случае поперечных волн необходима также одинаковая поляризация обеих волн. Возникновение стоячих волн является частным случаем явления интерференции волн.
2°. Плоская продольная стоячая волна возникает, например, при наложении падающей и отраженной плоских волн, если угол падения равен нулю и коэффициент отражения R = 1, т. е. если отражение происходит от среды с очень большим или очень малым волновым сопротивлением. Уравнение плоской продольной синусоидальной стоячей волны, возникающей при наложении прямой волны ф1 = a sin (соt kx + Ci1) и обратной волны ф2 = a sin (соt + kx + Ct1), имеет вид
3°. Амплитуда аСТ плоской стоячей волны является периодической функцией координаты х и не зависит от времени:
7. СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ
Ф = 2a cos
(X1 - (X2
- kx sin COf +
(X1 +(X2
>
2
2
570
VI. ОСНОВЫ АКУСТИКИ
Точки пространства, в которых аст = 0, называют узлами стоячей волны, а точки, в которых аст имеет максимальное значение (аст)макс = 2а, называют пучностями стоячей волны. Для узлов ——- — kx = (2т + 1)^ ,
Z 2
для пучностей —kx = 2 пгї , где т = 0; ±1; +2;....
4°. Длиной стоячей волны Xcr называют расстояние между двумя соседними узлами или пучностями:
где X — длина бегущих волн. Расстояние между соседними узлом и пучностью равно = ^ . Узлы скорости
и смещения частиц жидкости совпадают с пучностями потенциала скорости и давления.
5°. В стоячей воде все частицы среды, находящиеся между двумя соседними узлами, колеблются в одной и той же фазе, но с разными амплитудами. При переходе через узел фаза колебаний скачкообразно изменяется
f CJL1-U2 \
на л, так как меняется знак cos| —= — Rx J.
6°. В отличие от бегущих волн, в стоячей волне отсутствует перенос энергии. Это, в частности, проявляется в том, что положения в пространстве узлов и пучностей не изменяются с течением времени (поэтому такие волны и называют стоячими). Отсутствие переноса энергии стоячей волной является следствием того, что образующие эту волну прямая и обратная волны переносят энергию в равных количествах и в противоположных направлениях.
7°. Стоячая сферическая волна возникает при наложении расходящейся и сходящейся гармонических сферических волн:
ф1 = — sin (со t - kr + (X1) и фг=у sin (со? + hr + Ci2).
Уравнение этой волны имеет вид
2ап / а, - а, . ( a, + (X2 \
ф = cos I 1 kr \ sm I со* + - 2 J-
V.I.7. СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ
571
Условия для узлов и пучностей:
кг = <
(2 тп + 1)^ — узлы, 2тп 5 — пучности
(тп = 0; ±1; ±2; ...).
8°. Если жидкость заполняет ограниченную часть пространства, то частоты ее свободных колебаний могут принимать бесконечный ряд определенных дискретных значений, называемых собственными частотами. В этом случае в жидкости возникает сложная система стоячих волн, которая существенным образом зависит от формы и размеров сосуда.
Приведем значения собственных частот колебаний для некоторых частных случаев.
1. Цилиндрический столб газа в трубе длиной I. Если оба конца трубы закрыты или открыты, то v = ^ ; если один конец трубы закрыт, а другой открыт, то
V = (2т — 1)—, (т = 1, 2, 3, ... ; с — фазовая скорость 41
волн в газе). У закрытых концов трубы располагаются узлы скорости (а также смещения) частиц газа и пучности давления, а у открытых — узлы давления и пучности скорости.
Написанные выше условия для труб, открытых с одного или двух концов, являются приближенными, так как получены в предположении отсутствия потока энергии через открытые концы трубы. Эти условия выполняются, если радиус трубы R <SC X (А — длина волны). В общем случае для трубы, открытой с обоих концов,
(т = 1, 2, ...)
2(l + 2aR)
и для трубы, открытой с одного конца,
^ (2т - 1)с 2 ...)
4 (І + aR) У ’ ’ >>
где а = 0,63, если на открытых концах трубы нет фланцев, и а = 0,80, если есть фланцы.
572
V.1. ОСНОВЫ АКУСТИКИ
2. Жидкость в сосуде, имеющем форму прямоугольного параллелепипеда со сторонами a, bud:
v"I$+5+S О".».*-!.*.-).
3. Резонатор с длинной тонкой трубкой:
V=-I fl,
2її VIV
где V — объем полости резонатора, S — площадь поперечного сечения трубки, I — длина трубки (I 2> as, где as — амплитуда колебаний газа в трубке). Полые сферические резонаторы называют резонаторами Гельмгольца.
9°. Собственные частоты поперечных колебаний струны длиной I равны
'-Ji Jfs (—1.
На концах струны — узлы смещения и пучности деформации и напряжения.
10°. Собственные частоты продольных колебаний тонкого стержня длиной I:
1) если стержень закреплен в середине, то
V= 2п +
Iji („-1,2....).
21
