Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
закона сохранения энергии.
530
IV.12. ОСНОВЫ МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ
В этих формулах Ф — диссипативная функция,
h — удельная энтальпия среды, Vrn = — коэффици-
Yt^o
ент «магнитной вязкости» (коэффициент «магнитной диффузии»), г] и С, — коэффициенты первой и второй вязкости среды, р — плотность среды, P — давление, К — коэффициент теплопроводности среды, T — температура, v — скорость движения среды.
Точные решения уравнений магнитной гидродинамики получены лишь в немногих случаях простейших движений среды.
5°. Величину
Re =Yk
,чст -- *
где LnV — характеристические линейный размер и скорость для рассматриваемой магнитогидродинамической задачи, называют магнитным числом Рейнольдса. Во многих случаях Rem » 1 и можно пренебрегать электрическим сопротивлением среды и связанными с ним джоулевыми потерями, а также диссипацией энергии магнитного поля.
6°. Для идеальной проводящей среды (т^ = ? = К — 0, у —* ОО) в предположении, что теплообмен с окружением несуществен, т. е. движение среды совершается адиабатически, система уравнений магнитной гидродинамики принимает вид:
=VxvxH, V-H = O,
of
+ p(v - V)v = -Vp - H0H х V х Н,
Ot
+div(pv) = 0, р = р(р, Т), +(V-V)S = O.
В последнем уравнении s — удельная энтропия среды, и оно выражает сохранение энтропии при адиабатическом движении среды.
7°. Первое из уравнений п. 6° (при у = °°) выражает закон сохранения магнитного потока сквозь любую поверхность, движущуюся вместе со средой. Это позволяет ввести представление о линиях индукции магнитного поля, «скрепленных» со средой, «вмороженных» в
IV.12.2. МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
531
среду. В этом смысле магнитная силовая линия является линией, связанной с частицами среды и перемещающейся вместе с ними.
8°. Для несжимаемой жидкости уравнения магнитной гидродинамики с помощью переменных
U = V+ J^H, W = V-J^H
записывают в симметричной форме:
+ (w • V)u = -Va + Д(аи + Pw),
ot
^ + (u ¦ V)w = -Va + A(aw + Pu),
Ot
где
V-u = 0, V-w = 0,
a = p + (u-w)*f а.Ц%, P =
p 8 2 2
V == - — кинематическая вязкость, Vrn — коэффициент р 111 «магнитной вязкости». Выражение для плотности полной энергии имеет вид:
+ ^L2 = P (Ы2 + w2);
2 2 4
разность кинетической и магнитной энергий равна
р^2 _ м^2 = р .
2 2 2'
9°. В магнитной гидродинамике не выполняется теорема Томсона о сохранении циркуляции скорости в идеальной жидкости. В присутствии магнитного поля циркуляция скорости по материальному контуру сохраняется лишь в том частном случае, если сила ґл, отнесенная к единице массы, обладает потенциалом:
V х (pV х H х Н) = 0.
2. МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
1°. Если в хорошо проводящей среде, находящейся неподвижно в однородном, постоянном магнитном поле напряженностью Н, возникают возмущения поля
532 IV.12. ОСНОВЫ МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ
или термодинамических параметров среды, то эти возмущения распространяются в среде в виде магнитогидродинамических волн. Пустьр', р', h и V — возмущения давления, плотности, напряженности магнитного поля и скорости среды. В случае малых возмущений (ІРІ «р, |р'| « р и h <КН, где р и р — равновесные значения давления и плотности среды) из уравнений п. 1.6° следует, что в идеальной проводящей среде
^=VxvxH, V -h = 0, ^+pV-v = 0,
Зі dt
р|ї = - Vp' - ц0Н х V х h = -C2sb Vp' - H0H х V х h.
Здесь C38 = — скорость звука в среде в отсутствие
2°. Система уравнений п. 1° имеет решения в виде плоских волн с частотой ш и волновым вектором к, которые удовлетворяют системе алгебраических уравнений:
Из первого уравнения следует, что вектор h всегда перпендикулярен k. В проекциях на оси системы декартовых координат, ось Ox которых проведена в направлении волнового вектора к, а плоскость хОу совпадает с плоскостью, проходящей через векторы к и Н, имеем:
магнитного поля, ар' = C2b р'.
coh = -к х V х Н, ыр' = рк ¦ V, ptov + C2b р' к = ц0Н х к х h.
Здесь V= — — фазовая скорость волн. k
IV.12.2. МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
533
Из уравнений (12.1) следует существование магнитогидродинамических волн первого типа, называемых также волнами Альвена, фазовая скорость которых
где 0 — угол между векторами к и Н. Частота этих волн
Одновременно с h колеблется и скорость V по закону
ры VHh колеблются в направлении, перпендикулярном вектору к, т. е. эта волна поперечная.
Термодинамические параметры среды при распространении волны 1-го типа не изменяются: р' — р' — 0. Поэтому такие волны могут распространяться как в сжимаемой {газообразной}, так и в несжимаемой {жидкой} среде. Групповая скорость волн Альвена не зависит от направления вектора к и равна:
3°. Из уравнений (12.2) следует существование еще двух типов волн, в которых осуществляются колебания hy, vx, vy, р' и р'. Векторы h и V в этих волнах, называемых магнитозвуковыми волнами, лежат в плоскости векторов Ник, причем эти волны не являются ни чисто продольными, так как vy 0, ни чисто поперечными, так как vx ^ 0. Фазовые скорости магнитозвуковых волн удовлетворяют уравнению: