Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
п
H dl=, X^+7CMen1- (11.4)
L k = 1
Формула (11.4) — второе уравнение Максвелла в интегральной форме.
IV.11.4. ПОЛНАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА...
519
С помощью формулы Стокса (11.2) и соотношения для полного тока
Tl
^ПОЛН — ^ ^смещ — j (jfl ^ Іп смещ)^^»
k = I S
можно записать второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме-.
rot H = j + , (11.5)
где j — плотность тока проводимости.
4. ПОЛНАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
1°. Помимо уравнений (11.1) и (11.4) в систему уравнений Максвелла входит теорема Гаусса—Остроградского для электрического и магнитного полей:
Фе - I DnAS = q, (11.6)
S
4>m=ji?ndS = 0, (11.7)
s
где Фе и Фт — соответственно потоки электрического
смещения D и магнитной индукции В сквозь замкну-
тую поверхность, охватывающую свободный заряд q. Уравнение (11.7) выражает факт отсутствия свободных магнитных зарядов. Если ввести объемную плотность
свободных зарядов р: q = J pdF (dF — элемент объема V)
V
и воспользоваться теоремой Гаусса |> An dS = J div A dF,
sv
то из уравнений (11-6) и (11.7) получаются третье и четвертое уравнения Максвелла в дифференциальной форме-.
div D = р, (11.6')
div B = O. (11-7')
520 IV.11 ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ НЕПОДВИЖНЫХ СРЕД
2°. Полная система уравнений Максвелла: rot E = - ^? , div D = p,
Ot
rot H = j + І? , div В = 0
' J* '
(11-8)
дополняется материальными уравнениями, связывающими векторы Е, D, H и В с величинами, описывающими электрические и магнитные свойства среды:
E — относительная диэлектрическая проницаемость, ц — относительная магнитная проницаемость, у — удельная электропроводность, E0 — электрическая постоянная, H0 — магнитная постоянная. Среда здесь и в дальнейшем предполагается изотропной, неферромагнитной и несег-нетоэлектрической.
3°. На границе раздела двух сред выполняются граничные условия-.
где о — поверхностная плотность свободных зарядов, п — единичный вектор нормали к границе раздела, проведенный из среды 2 в I, T — единичный вектор, касательный к границе Опов — проекция вектора плотности поверхностных токов проводимости на единичный вектор N = п х г).
Уравнения (11.9) выражают непрерывность нормальных составляющих вектора магнитной индукции и скачок нормальных составляющих вектора смещения. Уравнения (11.10) устанавливают непрерывность касательных составляющих вектора напряженностей электрического поля на границе раздела и скачок этих составляющих для напряженности магнитного поля.
4°. При заданных начальных условиях (значениях векторов E и H в начальный момент времени t — 0) система уравнений Максвелла имеет единственное решение. Уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований Лоренца.
D = E0 еЕ, B = ц0цН, j = уЕ,
(11.9)
(11.10)
IV.11.5. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА..
521
5. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА МЕТОДОМ ЗАПАЗДЫВАЮЩИХ ПОТЕНЦИАЛОВ (при е, (X = const)
1°. Для решения системы уравнений Максвелла вводятся скалярный ф и векторный А потенциалы.
В = rot A, E = -grad ф - ^.
of
Такое введение не является однозначным. Векторный потенциал А вводится с точностью до grad і(/, где і|/ — произвольная скалярная функция точки:
А = A0 - grad ф.
Скалярный потенциал вводится с точностью до производной от скалярной функции ф по времени:
ф = ф0+^.
Это преобразование потенциалов электромагнитного поля, при котором решения E и В уравнений Максвелла не изменяются, называют калибровочными преобразованиями электромагнитного поля.
Для однозначного определения потенциалов на А и ф накладывается дополнительное условие (условие калибровки). Наиболее употребительны кулонова и лорен-цева калибровки. Все калибровки физически эквивалентны. В кулоновой калибровке
div A = O,
в лоренцевой калибровке
Ц2 Эt
і
где V =
div А + 4 =0,
Vee оИ^о
2°. Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля в однородной, изотропной среде, не обладающей ферромагнитными и сегнетоэлектриче-скими свойствами в лоренцевой калибровке, удовлетворяют уравнениям Даламбера:
522 IV.11. ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ НЕПОДВИЖНЫХ СРЕД
Здесь у = —— — скорость распространения электромаг-Тец
нитных волн в данной среде, ас — в вакууме, р — объемная плотность свободных зарядов, jnpoB — плотность
токов проводимости, с = 1 ~ 3 • IO8 м/ с.
JtoVo
3°. Потенциалы <р и А могут рассматриваться как запаздывающие. Это означает, что учитывается конечная скорость її распространения электромагнитных сигналов:
Ф(Х) у’г’і) = шг0ї ~гр{*' У’ г'>*" ъ)dr>
U у, А(х, у, z, t) = ^ J ij ^x\y\z\t- ^dV\
V'
где х, у, г — координаты точки, в которой в момент t отыскиваются потенциалы <р и А; х:, уг’ — текущие координаты произвольно расположенного элемента объема dF'; г — расстояние элемента dV" до точки наблюдения. В точке, удаленной на г от зарядов и токов — источников поля, потенциалы ф и А в момент времени t будут определяться значениями р и j в момент времени t — - .
V
6. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ