Справочное руководство по физике для поступающих в вузы и для самообразования - Яворский Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
*) О квантовомеханическом смысле понятия орбиты электрона в атоме см. V 1.2.6.3°,
1.7. НУЛЕВАЯ ЭНЕРГИЯ ОСЦИЛЛЯТОРА
433
1.7. Нулевая энергия линейного гармонического осциллятора
1°. Нулевая энергия E0 линейного гармонического осциллятора (VI. 1.4.6°) связана с квантовыми свойствами осциллятора и соотношением неопределенностей. Если частица с массой т колеблется с амплитудой А вдоль оси Ox (осциллятор) (рис. VI. 1.6), то ее полная энергия E0 в момент достижения точек поворота BhC
р _ГП'оЛА2
— 2
2°. Если частица с массой т обладает волновыми свойствами (квантовый линейньїй гармонический осциллятор), то дебройлевская волна, связанная с частицей (VI. 1.1.3°), «заперта» в области с линейными размерами А, где Л — амплитуда смещения осциллятора. Неопределенность Ax координаты частицы (VI. 1.5.4°) будет AxwА. Согласно соотношению неопределенностей (VI. 1.5.5°) неопределенность импульса частицы Ap
Импульс р частицы не может быть меньше, чем неопределенность импульса Ap *):р^Ар. Импульс р, равный по модулю неопределенности импульса Ар, называется импульсом локализованной **) частицы: р=Ар.-
У частицы, обладающей волновыми свойствами, всегда существует некоторая нулевая энергия (VI.1.4.6°), которая представляет собой энергию локализованной частицы E0. Это — наименьшая энергия, определяемая импульсом локализованной частицы P^-fo''
F = Рг ~ 0 2от A 2т (Д.ї)3 "
3°. Для квантового линейного гармонического осцил-лятора Ах&А и E0 ж 2 . С другой стороны, согласно
*) Обоснование этого вывода выходит за рамки данного руководства.
**) От латинского «localis» — ограничение чего-либо известными пространственными пределами. В нашем случае — ограничение положения частицы.
434 отдел vi. гл. 1. элементы квантовой механики
п. Г,Е0 = тф*л ¦ Перемножая два выражения для E0 и
извлекая квадратный корень, получим^ = ^ (VI. 1.4.6°).
Нулевой энергии квантового гармонического осциллятора соответствуют некоторые «нулевые колебания» частицы, которые происходят при температурах, как угодно близких к абсолютному нулю (T=O К) (11.4.9.4е). Существование нулевой энергии подтверждено экспериментально в явлении рассеяния света кристаллами твердых тел при сверхнизких температурах. Рассеяние света происходит на колеблющихся атомах, молекулах или ионах, расположенных в узлах кристаллической решетки (11.1.6.5°). С классической точки зрения при Т->-0 К должны прекращаться колебания узлов решетки и должно прекратиться рассеяние света. Опыты показали, что при уменьшении температуры тела интенсивность рассеянного света не убывает ниже некоторого предела и сохраняется при дальнейшем охлаждении. Происходит это потому, что при сверхнизких температурах, близких к абсолютному нулю, сохраняются «нулевые колебания» узлов решетки и происходит рассеяние света.
1.8. Понятие о вырождении газов
Г. Вырождением газов называется отклонение их свойств от свойств идеальных газов (11.2.1. Г), вызванное квантовыми свойствами как самих частиц газов, так и их коллективов. Вырождение газов становится существенным при весьма низких температурах и больших плотностях.
Температурой вырождения ТЕЫр называется такая температура, ниже которой данный газ ведет себя как вырожденный. При Г>Твыр газ не вырожден и его свойства описываются уравнением Менделеева — Клапейрона для идеальных газов (11.3.3.7°). Условие вырождения газов: 7,<Твыр.
На рис. VI. 1.11 показана зависимость средней кинетической энергии частицы газа є от температуры Т. При Т>Твыр прямая AB выражает характерную для идеаль-
1 выр
Рис. VI.1.11
1.8. понятие о вырождении газов
435
ных газов прямую пропорциональности между є и Т. При Т<Твнр, в области вырождения ВС, имеется нелинейная зависимость е от Т. (Из-за малого размера рисунка легкий наклон участка ВС не заметен.) В этой области определение термодинамической температуры T как величины, прямо пропорциональной средней кинетической энергии молекулы газа (11.2.4.4°), непригодно. Отрезок ОС на оси ординат характеризует нулевую энергию частицы.
2°. Энергия локализованной частицы с массой т k2
(VI. 1.7.2°),?0 = 2^j"S, где L — линейные размеры области,
в которой локализована частица *). Энергию E0 можно связать с температурой вырождения. Если п — число частиц в 1 см8 газа, то L=n-1/s **). Средняя кинетическая
энергия частицы при температуре вырождения TBUV равна — з
е = у WBb[p (11.2.4.4°), где k— постоянная Больцмана (11.2^4.4°). Из равенства двух выражений для энергии ?о=е получим
—^Г 2 M внр> ИЛИ 1 выр - •
3°. Если можно пренебречь конечным значением постоянной Планка, т. е. считать, что п—>-0, то можно считать, что Твь,р-н>-0. В этом случае вырождением газов можно пренебречь. В реальном случае, например, для водорода (т»2-10-27 кг) при нормальных условиях (7=300 К и п»3-1025 м-3) ГвмрАІ К. Для газов более тяжелых, чем водород, Гвыр еще меньше. Атомные и молекулярные газы при нормальных давлениях и температурах никогда не бывают вырождены. Точка В на рис. VI. 1.11. находится вблизи абсолютного нуля температуры. Вырождение, вызванное квантовыми свойствами газов, сказывается значительно меньше, чем отклонения газов от идеальности, связанные с силами взаимодействия между молекулами реальных газов (11.1.4.1°).
