Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Владимиров Ю.С. -> "Системы отсчета в теории гравитации" -> 57

Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.

Владимиров Ю.С. Системы отсчета в теории гравитации — М.: Энергоиздат, 1982. — 256 c.
Скачать (прямая ссылка): sistemotchetateorgrav1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 102 >> Следующая


вращения PuuiHif которые играют

роль символов Кристоффеля.

Чтобы выяснить свойства Aa (сф), учтем, что в онмановой геометрии при параллельном переносе длина вектора B11B11=B (a)В (а) остается неизменной, т. е.

В (a I X + dx) В (a j х + dx) = В (а | х)В (а | х) « В (а | х) В (а | х) + + В (? I X) В (у I X) [Aa (Y?) + Aa (Pv)I dx

ZH 'Отсюда следует антисимметрия коэффициентов вращения Риччи: /Acr(y?) = — ACT(?y). Ковариантная производная от вектора с локальным индексом определяется как разность частной производной и изменения вектора, вызванного различием векторов тетрады в соседних точках, т. е.

VgB (а) = дБ (а)/дх° — Aa (a?) В (?).

Для произвольного тензора с универсальными и локальными индексами оператор ковариантного дифференцирования имеет вид:

+ гіЛ\::(<* ...)+.. .-r?X:::(a . . .)-

- . . ACT(cc?)?v1:;:(? ...)-... (7.99)

Установим связь между символами Кристоффеля и коэффициентами вращения Риччи. Положив (a) = 0, найдем:

dg]l (а)/дх- - Г^ (а) - Av (a?) ^ (?) = 0. Отсюда имеем искомые формулы:

rtv = f? (a)dglx (а)/дх- - Av (a?) gfx (?) g»- (a); J ш

Av (a?) = g»(?) dgil (а)/дх- - T^vgk (a) ^(?). J

Введем обозначения:

Aa, ?Y = Aa (ц\>) (|i) gv (v); А (л, |iv) s Aa ((iv) g« (л).

Из формул (7.100) можно выразить объекты неголономности через A?v(jxv) и обратно:

Cvtl (a) = (1/2) (a) (Av, ^ - (7.101)

Atl,av = gv (?) Ca? (?) + gx (?) Cllv (?) - g? (?) Cva (?). (7.102)

Из (7.102) и (7.95) следует явное выражение Ajl1j06v через производные от компонент тетрады:

V<*v-y

^14(P) ^a(P) \ . /РЛ[ dSv (P)

(P)RIlT1—-гіг1-) + e*(fi)

дхА дх/ Kdxli

dSllW) \ , _ і ^v(P) ^a(P)



dxv J " V

(7.103)

Запись основных соотношений ОТО. Тензор Римана— Кристоффеля легко выражается через коэффициенты вращения Риччи или непосредственно с помощью формул (7.100), или независимо посредством параллельного переноса вектора В (а) по замкнутому контуру. В последнем случае

A? (a) — (1/2) /?GV(a?)?(?j dsov,

148: тде тензор Римаиа — Кристоффеля имеет вид:

^ov (a?) = dAv (a$)/dxu — дА0 (a?)/<?jtv + + Av (ay) Act (Y?) — Act (ay) Av (y?).

(7.104)

'Отсюда, например, для скалярной кривизны находим:

R = Rov (a?) g° (a) gv (?) - 2gv (?) go (a) OAV (a?)/o^ +

+ А фау) A (ay?) + A (?y?) A (?T?).

(7.105)

Уравнения Эйнштейна в тетрадной форме записываются следующим образом:

J?v (a) — (1 /2) gv (a) R = kTv (а) или R (a?) — (1/2) є (a?) R = кТ (a?).

Другие соотношения и тождества также легко переписать в тетрадной форме. Это относится и к уравнениям для тензорных полей. Особое значение тетрадная формулировка ОТО имеет для записи уравнений Дирака в искривленном пространстве-времени

Исходя из известных значений метрического тензора, можно распространить групповые калибровки монадного и диадного методов на тетрадный формализм. Однако предварительно подсчитаем, сколько должно быть при этом независимых калибровочных условий, т. е. соотношений, связывающих компоненты^ (а) с g [120, 121]: компонент g?V 10, а компонент g^(a) 16. Поэтому в общем случае необходимо шесть независимых калибровочных условий. Аналогично было в монадном, диадном и диарном формализмах. Действительно, в монадном формализме 14 переменных: четыре компоненты Tix и 10 компонент Iiliv ; но компоненты Tix связаны одним условием нормировки T?Tvg^v = 1. Итого, на 13 величин налагалось три калибровочных условия: т? = go / ^goo • или Tix = gjS/Vg00- В диадном формализме 18 переменных: четыре компоненты Tjli, четыре компоненты Iix И 10 компонент YlLiv. Однако на эти величины наложено два условия нормировки {^vg?v = 1, IiiIvgliv = — 1) и одно условие ортогональности Tiihgw = 0. Итого остается 15 величин, на которые налагается пять независимых калибровочных условий:^= Tix (g"^); Iix = ^ (^jliv). В тетрадном формализме к этим условиям добавится еще одно.

Аналогично хронометрической калибровке монады или хроно-хориометрической калибровке диады можно ввести полную хроно-хорио:метрическую калибровку тетрады:

(см. § 7.9).

7.8. КАЛИБРОВКИ ТЕТРАДНОГО ФОРМАЛИЗМА

g» (0) = T* = go/T/goo ; ^ (1) = Zli = *A?/V*Aii ;

149: При этом выделяется следующий класс преобразований координат:

_ /v0 V1 V2 v34- Vrl _ Vrl /rV1 V2 I-3V

Л- - Л- ^Л , Л- , Л- , л- • у Л- — Л- \л ) л , л

(7.107)

jc'2 = jc'2(jc2, jc3); jc/3 = jcr3 (jc3).

Величины, спроектированные по всем индексам на векторы отка-либрованной таким образом тетрады, инвариантны относительно этих преобразований координат. С помощью преобразований координат, выходящих за пределы указанного класса, можно описывать переход к иной ориентации тетрады при сохранении для нее полной хронохориометрической калибровки.

Подобным образом вводится полная кинеорометрическая калибровка тетрады:

Sfli (0) = ^ = ^/VPr; gvL (1) = Iv. - Х/У+^;) /оч +Ml/"++" (7Л08>

^ (2 )=vl/Vi». J

Эта калибровка выделяет класс преобразований координат

jc'°=jc'0(jc°); xfl =Xrl {х\ Xі); хГ2= Xr2 (JC°, х\ je2); je'3 - je'3 (je0, je1, JC2, jc3). (7.109)

В таком формализме инвариантами относительно этих преобразований являются проекции тензорных величин по всем индексам на направления откалиброванной указанным способом тетрады.
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 102 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed