Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Запишем метрику Шварцшильда в еще одной важной системе координат, по отношению к которой кинеметрическая (хронометрическая) система отсчета является синхронной (свободно падающей) Для этого сделаем преобразование координат: Уо
= ( Tdr + Xo-> Уг = (' -T^V dr + *<" ^4-23)
j 1— Г J г .» 1 —г Jr
'gl' rO
"1^e rOy (для внешней области решения r>rg). В новой си-
стеме координат метрика Шварцшильда имеет вид:
,2
-- re»».)?-»)f ~ It -Ч"'^ +sin!
(4.24)
Такую систему называют координатной системой Леметра. Легко видеть, что в свободно падающей системе отсчета Allv = 0; Fll = 0;
ВікФ 0.
4.2. ДВИЖЕНИЕ МОНОПОЛЬНЫХ ПРОБНЫХ ТЕЛ В МЕТРИКЕ ШВАРЦШИЛЬДА
Пусть масса центрального тела, искривляющего пространство-время, равна M, а масса пробного тела есть га0. Возьмем метрику Шварцшильда в виде (4.20) и воспользуемся монадными уравнениями геодезической в хронометрической калибровке, т. е. движение пробных тел рассмотрим в покоящейся системе отсчета.
Спроектированное на т уравнение геодезической (3.20) имеет смысл теоремы изменения кинетической энергии пробного тела и ш данном случае имеет вид:
dm n -, kMm dr /л
— г= FiP1 =---, (4.25)
d% 1 г2C2 (1 — 2kM/c2r) di v 1
тде pl = mvr=tndr/dT. Используя соотношение F1=—т0і,і/т0, (4.25) можно представить в виде dm/m = —гіто/т0, откуда получаем общерелятивистский аналог закона сохранения энергии:
m = (Elc2)Ii0f (4.26)
где Ejc2 — постоянная интегрирования. При f"^>rg и скоростях используя соотношения:
m = mjyi -V2Ic2 = m0 + m0v2/2c2 + . . . ;
1/т0 - 1/1/1— cIkMlc2T = 1 + kM/c2r + O (rg/r)2]
E = E0 + m0c2\ E0 < m0c2,
-приходим в наинизшем приближении к известному выражению
m0v2/2 — kMmJr = E0.
Вторая компонента уравнения (3.21) (соответствующая углу 0) в рассматриваемом случае имеет вид:
.82 — dp2/dт — (2/r) P2V1 + sin 6 cos Qp3V3 = 0. (4.27>
С учетом начальных условий: 00 = я/2, v2 = dQ/dx\o = 0 это уравнение означает, что траектория точки плоская
6 == л/2 = const.
Третья компонента уравнения (3.21) (соответствующая углу ф) с учетом (4.9) имеет смысл теоремы изменения момента количества движения
dp* Idx + (2 Ir) P3V1 = 0, (4.28)*
где p3 = mdyldx. Деля (4.28) на p3vl = p3dr/dx, находим, что dp3/р3 = — (21 г) dr. Интегрируя это уравнение, находим обобщение закона сохранения момента количества движения:
р3 = OtnJr2 mr2dq>/dx = т0о, (4.29)?
где т0а — постоянная интегрирования.
Первая компонента уравнения (3.21) довольно сложна:
— dp1 Idx = Lhp1V1 + L133P3V3 + mF\
поэтому используем обходной путь. Возьмем квадрат интервала! (4.20) и разделим его на ds2lm20 = dx2lm2 (при 6 = л/2 = const):
JTL^ = т2 — (P1)2Kl — 2kM/c2r) — г2 (р3)2. Используя формулы (4.26) и (4.29), находим:
Г 2 /п1\2 G2Zftn
ml =-----^---5 . (4.30>
0 С4(1-2ШЭ) 1 — 2Ш/с2г г2
Переходя от г к U=Xjr и от дифференцирования по т к дифференцированию по ф так, что
р1 = mdr/dx = т (dr/dy) dy/dx = — m0adu/dy,
-приводим уравнение (4.30) к виду
Г/ du V , Л ?2 — /ftgc4 2Ши . 2kMo2u* /А о 1\
( — I +и2\ =----1--— H--;-, (4.31)
LV ^ф / J mgc4 ^2 ^2
что означает общерелятивистский аналог закона сохранения энергии (4.26) в сферических координатах. Дифференцируя (4.31) по Ф, находим:
dhi/dqP + и = kM Io2C2 + 3 UMu2Ic2. (4.32)
Умножая это уравнение на — т0и2о2с2, получаем обобщенный второй закон Ньютона (координатный) вдоль радиального направления:
m0ar = — UMmJr2 — (3 kMmJr*)o2 = f н + f э. (4.33)
8а "Справа кроме ньютоновой силы притяжения стоит эйнштейновская «сила притяжения»
Гэ - — QkMmfJr*) о2 - ,TuSoyr2C2y (4.34)
где CT = Oo/с. Для объектов Солнечной системы множитель
ЗсгоIf2C2 мал; действительно, можно положить сто = r2cpa Vr1 тогда f Э еее f H (v/c)2, т. е. приу^с можно пренебречь.
При рассмотрении радиальных геодезических удобно исходить из формулы (4.30). Полагая а = 0, находим:
і dr ,1/ — . ZkM „ iA QKv
p —-+ ^"mO - (4.35)
•Отсюда легко получить в покоящейся системе отсчета время свободного перемещения частицы между двумя точками с разными значениями г. В частности, время свободного падения частицы от точки с г = R до гравитационного радиуса в этой системе отсчета оказывается конечным. Однако оно соответствует бесконечному _интервалу изменения параметра х°. Учитывая соотношение -^t = Vgoodx0, приходим к выводу, что по часам любого покоящегося по отношению к источнику наблюдателя время свободного падения тела до гравитационного радиуса тоже равно бесконечности. Легко также показать, что в свободно падающей системе отсчета (системе Леметра) время достижения гравитационного радиуса конечно.
4.3. ЭФФЕКТ СМЕЩЕНИЯ ПЕРИГЕЛИЯ МЕРКУРИЯ
Рассмотрим эффект смещения перигелия планет в пространстве-времени, искривленном Солнцем согласно ОТО. Для этого, воспользовавшись малостью последнего слагаемого в (4.32) справа, найдем приближенное решение уравнения. Запишем (4.32) в виде
и" + и = a + EU2J (4.36)
где a = kM/a2c2l z = 3kM/c2. Очевидно, в нулевом приближении, когда пренебрегаем последним членом, для финитного движения получаем замкнутую эллиптическую траекторию
