Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
<со2 - ?0,)/0),« - (kM/c2) (ra - T1Vr1ZV (4.50)
Конечно, здесь допускается, что аналогично излученные кванты в момент рождения всегда имеют одинаковую частоту.
Гравитационное красное смещение будет иметь место и в том случае, когда свет приходит, например, на Землю от звезды, на поверхности которой
^звезды/^звезды ^ ^земли/^земли*
В теории тяготения Ньютона красное смещение спектра в рассматриваемом приближении определяется такой же величиной. Этот эффект можно понимать как потерю энергии светом при преодолении ньютонова гравитационного притяжения. Тогда
— AE = Co2 — Co1 == — mg ДА ^ — о)0 (kM/c2) (г2 — гА)/г2, (4.51)
где для не слишком большого перепада высот г ~ T1^r2.
Таким образом, гравитационное красное смещение (в рассматриваемом приближении) нельзя считать сугубо общерелятивистским эффектом.
4.5. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРОБНЫХ ТЕЛ НА КРУГОВЫХ ОРБИТАХ (ЭФФЕКТ ШИРОКОВА)
Эффект Широкова [77] состоит в следующем: если в свободно вращающейся по круговой орбите системе отсчета (например, в
87: спутнике без сноса) пробным массам сообщить малые скорости в. радиальном или перпендикулярном плоскости орбиты направлении, то возникнут их малые колебания, причем периоды малых колебаний во взаимно перпендикулярных направлениях различны. Их разность зависит от радиуса круговой орбиты и гравитационного радиуса центрального источника.
Подсчитаем периоды этих малых колебаний *. Для этого перейдем от покоящейся системы отсчета, в которой рассматривались все предыдущие эффекты, во вращающуюся. Это можно сделать, произведя преобразования исходных координат кривизн х'* = хн(хР, xk) и затем перейдя в хронометрическую по отношению к новым координатам систему отсчета. Можно определить бесконечно много разных вращающихся систем отсчета. Они могут различаться, например, зависимостью своих угловых скоростей вращения от радиальной координаты или угла 0. Особо подчеркнем, что монад-ный метод задания движения систем отсчета основан на понятиях конгруэнции мировых линий в пространственно-временной области. (Одной мировой линии недостаточно — нужна, по крайней мере,, трубка мировых линий).
Ограничимся простейшим случаем — «твердотельным» вращением, когда хронометрическая система координат новой системы отсчета получается из координат кривизн преобразованием
= в'= 0; фг = ф — Qx0j (4.52)
где Q = Const определяется из условия свободного движения по круговой орбите (геодезической) центра спутника без сноса. Очевидно, что новая хронометрическая система отсчета не может быть определена сразу во всем пространственно-временном многообразии, так как при достаточно больших г скорость этой системы отсчета будет превышать скорость света. Однако в данной задаче это неважно, поскольку нам нужна конгруэнция мировых линий лишь в окрестности именно опорной круговой орбиты.
Определим Q. Из радиального уравнения геодезической (3.21) в неподвижной системе отсчета для круговой орбиты (р1 = 0) Z4 И2 + F1 = 0 находим:
V3 = dy/dx = V rg/2r3o (1 rg/r0) « (4.53)
где r0 — радиальный параметр опорной круговой орбиты. Учитывая, что dx = Vl—rg/r0dx°, имеем dy/dx° = 'Vrgfirl- Используя формулу перехода между двумя хронометрическими системами отсчета (3.129), которая в рассматриваемом случае записывается в виде ду'/дх° = — (дф'/дф) ^3 Vgbo» получаем:
* Рассмотрение здесь производится на основе монадного метода. В работе [77] этот эффект вычислен с помощью уравнений девиаций близких мировых линий.
88: (4.54)
(4.55)
Q = Y rj2r% .
В новой системе координат метрика
ds* = (1 — г Jr — r2Q2 sin2 Є) — dr7(l — /yr) —
— r2 (de2 + sin2 M(f) — 2r2Q sin28 d<p dx0.
Здесь и в дальнейшем штрихи у новых координат писать не будем. Составляющие метрического тензора (т1* и hik) в хронометрической по отношению к этим координатам системе отсчета находим в следующем виде:
[l/Vgm,; 0; 0; 0); тд = (V^"; 0; 0; - /-2Q sin2 QfV^0 1 <, , гг sin2 6(1—rg/г) .
йГоо
h
и
(1 -TgIr)
к
22
h.
•зз
Л11= 1
1
/i22 = —-; Г2
/I38 =
&во
(4.56)
)
(1 —rg/r) г2 Sin2 е
hik= hlk — 0 при І k.
Монадные физико-геометрические тензоры имеют компоненты: г 2r3Q2 sin2 Є J7
F1= — -g-—-т-; F9 =
2r*gQ о
- __ Qr (1 —3rg/2r) sin2 o
18 ~ сSj^ ;
Dih = O; Fs = 0; A2=O.
A23 —
raQ2 sin 26 . 2g«o
Qr2 (1 — rg/r) sin 29 2(goo)S/2
(4.57)
Положим, что в новой системе отсчета компоненты пространственных смещений от опорной линии и 3-скорости пробного тела малы, причем имеют один порядок (бг'—' /*q68 — V1 — r0v2 — r0if*). Ограничиваясь величинами первого порядка, т. е. пренебрегая Lk1VkV1, выпишем уравнения геодезических (в монадном виде):
dm/dx
FiP1 + F2p% -її
dp^/dx + 2р3А.3 + mFl = 0;
(4.58)
(4.59)
(4.60)
(4.61)
dp2/dx + 2рМ2з + mF2 = 0; dp3/dx + 2 P1A31 + 2 р2 A3 о = 0.
Отдельно рассмотрим колебания в плоскости круговой орбиты и в перпендикулярной ей плоскости.
Колебания в направлении, перпендикулярном плоскости орбиты (по углу 0). Пусть 8 = я/2 + тогда A23 —величина первого порядка по g. Следовательно, в уравнении (4.60) второй член имеет второй порядок и может быть опущен. Учитывая, что dm/dx согласно (4.58) имеет первый порядок, (4.60) можно представить в виде
