Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
V (3) = x?h3 (3) = У^Г (3) = rgra sin 0/р2/УД" ; v(\)=--v{2) = 0.
(5.7)
Компоненты вектора ускорения кинеметрической системы отсчета Fi = т0т° і найдем в виде
F1 = (г J2p2AAi) [(г2 + ?2)2j(a2 cos2 Є — г2) + 2r%a2 sin2 0]; F2 = a2 sin 20 rgr (r2 -J- a2)/2p2Ai; F3 = 0.
(5.8)
Тензор угловой скорости вращения по определению системы отсчета равен нулю (Aik = O)f однако в отличие от предыдущего случая не равен нулю тензор скоростей деформаций:
D13 = — Tfi [2г2 (г2 + a2) + p2 (г2 — a2)] sin2 6/2р2 Vp2AA^;
-rgrc? sin3 е cos ЄУД/Р2У(Ж7; D11 = D12 = D79 = D^ = O
D9
(5.9)
Горизонт
22 — ^33
Для метрики Keppa (5.1) можно указать две характерные поверхности, на которых составляющие метрического тензора х^ и hik в хронометрической системе отсчета имеют особенности (рис. И).
Одна из них — горизонт — определяется условием
Ii11 = Ot т. е. А = О -> гГОр = rgl2 -f
Зргосфвра
+ VrhA-
Рис. 11. Характерные поверхности в метрике Keppa
Легко показать, что нормаль к
этой поверхности изотропна (п^1 =0).
Поверхность бесконечного красного смещения — определяется условием
Ti4 = Of т. е. р2 — /у = О-> гэ =/у2 + |Л§/4 — a2cos:e.. Из формул (5.4), (5.5) следует, что в хронометрической системе 98 отсчета на ней обращаются в бесконечность длины векторов ускорения и угловой скорости вращения системы отсчета.
Эти две поверхности соприкасаются в полюсах (при 6 = 0 и й = В метрике Шварцшильда они совпадают
5.2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МОНОПОЛЬНЫХ ПРОБНЫХ ТЕЛ В МЕТРИКЕ KEPPA
Рассмотрим уравнения геодезических в метрике Keppa (5.1) ъ монадном виде в хронометрической системе отсчета. Для этого воспользуемся формулами (3.20), (3.21) и выражениями для монадных физико-геометрических тензоров (5.4), (5.5). Кроме того, учтем, что отличные от нуля 3-мерные коэффициенты связности в метрике Keppa *Akis = Lkis
! 2гА — р2 (2r — rg)
L п = —
LU
L22
2р2 г А
2р2А sin 26:
L?i =
T2
L12
-22
2р2А г
sin 26;
2р2
sin 26;
Ll
A sin2 6
33
L33 = L1 з
2р2 (р2 - rgrf Д sin 20
- [2гД (р2 — г г) — р2 (2г — г ) a2 sin2 в];
[P2(P2-V) + Zya2Sin2G];
2р2 (р2 — rsr)2 3 2гД (р2 — rgr) — р2 (2r — rg) a2 sin2 6 2р2Д (р2 — rgr)
,3 P2 (P2-V) +rg™2sin20
= -P2(P2-Tgr)-ct^0'
(5.10)
где использованы обозначения предыдущего параграфа.
Тогда временное (скалярное) уравнение геодезической можно записать в виде dm/d%=Fipl + F2P2 или
dmldx = [rg/2р2 (р2 — rgr)\ [(р2 — 2г2) р1 + га2 sin 26р2]. (5.11>
Пространственное уравнение, соответствующее углу 6, имеет
вид:
dtp sin 26 Г a2
ж+ ~w~WpXv1-aiP^
2 г
[р2 (р2 __ rgr) ^rflS sin2 Є] А
+ P1V* +
rgraA sin 28
-p3-
(P2 - /-g/-)2 mrgra2 sin 20
"v (p2-v)
P8O3] +
0.
(5.12)
P3 (P2 — ^)3/2
Пространственное уравнение, соответствующее углу <р, записывается в форме
dp3 [2/А (р2 — rgr) — р2 (2г — rg) a2 sin2 Є] д
р2А (p2-rgr) PV +
4*
, 99 2[p»(p*-rsr) + rgra* sin2 6] arg
H--^Tl-:-ctg OpV----X
P2(P2-V) ё ^ рзу^Т7
х г P2 — 2г2
р1 + 2r ctg Gp2^ = O. (5.13)
д
Радиальная составляющая пространственно-спроектированного уравнения
dpydx + L\ IP1V1 + L122P2V2 + LUpV + 2L\2pV + 2 рМ!3 + mF1 = 0.
(5.14)
Полученные уравнения сложны; проинтегрировать их в общем случае трудно, однако, это можно сделать для некоторых частных случаев. В качестве примера рассмотрим траектории движения монопольных пробных тел с начальными данными в экваториальной «плоскости» вращающегося источника (в начальный момент 0 = jx/2 и v2==dQ/dr = 0). Подставляя эти значения в уравнение (5.12), сразу же находим, что вся траектория тела лежит в экваториальной плоскости (плоскость Лапласа).
Временное уравнение геодезической (5.11) в экваториальной плоскости имеет тот же вид, что и в метрике Шварцшильда. Его решение
т = E YrIc2Vr — г g у (5.15)
где Ejc2 — постоянная интегрирования.
Уравнение (5.13) можно представить следующим образом: dp* 2г (г -rgy -rga* а dr
dr + r(r—rg)[r(r — rg) + а* )Р drг + arg т dr
+ Г-VTW=Tj lr(r-rg) + a* =°-
Подставляя сюда т из (5.15) и деля уравнение на dr/dx, приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка
dp3 , 2r(r-re)«-V» _Earg_
1 P + r%r (г — г Л fr Ir — -L- /т21 —
dr ^ г(г-гё)[г(г-гё) + а*)Г ^ c*r (г - rg) [г (г - rg) + а*] Его решение получаем в виде
р3 = Earg[ 1 +C2 (г- rg)]/c2r [г (г - rg) + а2], (5.17)
где C2— постоянная интегрирования. Потребуем, чтобы (5.17) при а = 0 переходило в ранее найденное (4.29) для метрики Шварцшильда. Из этого условия находим:
C2 = Om0C2IEargj
где а — постоянная (о = оо/с; сг0 — удвоенная секторная скорость), использованная в § 4.2. В результате получаем в экваториальной плоскости метрики Keppa аналог закона сохранения момента количества движения
100: иі — rg/r) + а2]р3 = Gm0 (I —rg/r) + (Ea/c2)rg/r. (5.18)
Знак модуля у второго члена справа зависит от соотношения направлений вращения источника и пробного тела (знаки совпадают, если а и а одинаково направлены).
