Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
щ = a + A0 cos ф -> г = р/( 1 + е cos ф), (4.37)
где Aq — постоянная интегрирования: р = 1/а; е=А0/а< 1—эксцентриситет Вторая постоянная интегрирования, соответствующая выбору начала отсчета угла ф, положена равной нулю.
Произведем в (4.36) замену и(ф)=а + ?(ф), тогда (4.36) принимает вид:
Г + 6 = е(а + Б)2. (4.38)
>84 Решая это уравнение, например, методом Крылова — Боголюбова, в первом приближении находим:
и = a + I = a + A0Cos (1 — га) <р + г [а2 + (1/2) A20] —
— (1/6) еЛо cos 2 (1 — га) ф + О (є2). (4.39)
Смещение перигелия планеты определяется аргументом во втором слагаемом справа. Легко видеть, что, сделав полный оборот (<р = 2л), планета еще не окажется на том же минимальном расстоянии от Солнца, что и при ф = 0. Она окажется там при
(1 —га) ф = 2я ф = 2я/(1 — га) « 2я (1 + га).
Это означает, что ей необходимо повернуться еще на малый угол Аф = 2яеа. Вспоминая введенные в (4.36) обозначения, находим для смещения перигелия планеты за один оборот в покоящейся системе отсчета
Аф = 2 пга = 6 nk2M2/o2c*. (4.40)
Для ближайших к Солнцу планет Солнечной системы (Меркурий, Венера, Земля) эти смещения за 100 лет равны 42,9", 8,6", 3,8" соответственно. Наблюдаемое смещение перигелия Меркурия хорошо согласуется с теоретически предсказанным. Для других планет Солнечной системы этот эффект лежит за пределами экспериментальных возможностей. Не обнаружимы пока и малые общерелятивистские деформации орбиты, даваемые другими членами в (4.39).
Следует отметить, что в рамках плоского пространства-време-ни СТО и ньютонова гравитационного потенциала также происходит смещение перигелия, однако оно в шесть раз меньше.
4.4. ОТКЛОНЕНИЕ ЛУЧЕЙ СВЕТА, ПРОХОДЯЩИХ ВБЛИЗИ СОЛНЦА. ГРАВИТАЦИОННОЕ КРАСНОЕ СМЕЩЕНИЕ
Уравнения изотропных геодезических в метрике Шварцшильда. Решения этих уравнений, получаемых из формул (3.58) и (3.59), аналогичны рассмотренным в § 4.2 для частиц с массой покоя.
Спроектированное на т уравнение (3.58) в данном случае имеет вид:
(1/со) doy/dT = F1I1. (4.41)
Его решение с учетом ранее использованных формул записывается следующим образом:
со = со0/т0 - Фо/У 1 — 2UMlc2Y , (4.42)
где Wo — постоянная интегрирования; w — частота электромагнитного излучения.
Из (3.59) для угла 0 опять следует, что луч лежит в одной
85: «плоскости». Выберем координаты так, чтобы эта плоскость была экваториальной, т. е. 6 = я/2.
Уравнение (3.59) для угла ф имеет вид:
dtf/dx + (2/r) kH1 = 0, (4.43)
где, напомним, /г3 = со^ф/^т = о)/3, ll = dr/dj. Решением этого уравнения является
I3 = dyjdi = pi/cor2, (4.44)
где — постоянная интегрирования.
Радиальное уравнение геодезической опять получим из выражения для квадрата интервала
О = dT2 — dr2/(l — 2 kMjc2r) — r2d ф2.
Деля это соотношение на ^t2, используя (4.42) и (4.44) и переходя опять от г к U=XJr и к дифференцированию по ф, находим:
(dujdy)2 + и2 = о)2/ц2 + (2kMjc2) и\ (4.45)
Дифференцируя (4.45) по ф, получаем:
dfydq)2 + и= (3 kMjc2) и\ (4.46)
Отклонение лучей света, проходящих вблизи Солнца. Правую часть уравнения (4.46) следует рассматривать как малую величину. Пренебрегая ею, находим решение в нулевом приближении:
Щ = (1 /Po)cos Ф или ro = Polcos Ф- (4.47)
Это решение соответствует распространению света по прямой, отстоящей от искривляющего центра на расстояние р0.
Первое приближение можно найти опять с помощью метода Крылова — Боголюбова. При этом все выкладки будут такие же„ как и в предыдущем параграфе, если везде положить а = 0. Из. (4.39) сразу получаем решение
и = U0+ U1 = (1/ро) cos ф + (е/6р2) (3 — COS 2ф),
где є имеет то же значение, что и в (4.36). В итоге имеем:
XJr = (1 /Po) cos ф + (Ш/с2р1) (2sin^ + cosaq>). (4.48)
Введем декартовы координаты: х = гсо8ф; y = rsіпф. Умножая (4.48) на гро, находим:
х = р0- (kMjc2р0) (X2 + 2y2)/V X2+ у2 . При больших у из этого выражения получаем:
X ж Po + (ZkMJc2P0) у, откуда вычисляем угол %/2 между асимптотой и осью у: tg JL = I dxjdy I = 2Ш/с2р0 « х/2.
86: Угол между асимптотами
X - 4Ш/с2р0.
(4.49)
Для лучей света, проходящих вблизи Солнца, %=1,75, что хорошо согласуется с наблюдениями.
В теории Ньютона угол отклонения луча можно подсчитать, положив, что корпускула света обладает массой m = hv/c2 и притягивается к Солнцу. Тогда стандартными вычислениями легко найти, что в плоском пространстве-времени угол отклонения ровно в два раза меньше значения (4.49).
Гравитационное красное смещение спектральных линий. В ОТО этот эффект следует рассматривать на основе решения уравнения изотропной геодезической, спроектированного на т (4.42). Пусть свет распространяется между двумя точками, находящимися на различных расстояниях от Солнца. Пусть им соответствуют радиальные параметры Г\ и г2, причем гх<г2. Тогда согласно (4.42)
Co1 = со0/У 1 — 2kM!Ct^r1 > со2 == со0/У 1 — 2Ш/с2г2 ,
т. е. приходящий в более удаленные точки свет будет иметь меньшую частоту. Другими словами, спектр приходящегося излучения будет сдвинут в красную сторону по сравнению со спектром аналогичного излучения, испущенного в точке наблюдения. Разность частот определяется формулой
