Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
69: ности 3-мерной пространственно-подобной гиперповерхности. За пределами окрестности в общем случае геодезические пересекаются.
Синхронными системами отсчета называются нормальные геодезические системы отсчета. Они характеризуются условиями Aliv= = 0; Fll = 0. Для синхронных систем отсчета справедливо сделанное выше замечание о возможности задание геодезических систем отсчета.
Ассоциированные с электромагнитным полем системы отсчета [73], в которых с точностью до постоянного множителя вектор ускорения Fa и тензор угловой скорости вращения Аа$ (этих систем отсчета) равны соответственно напряженности электрического Ea и магнитного На$ полей, всегда можно определить при наличии электромагнитного поля. Действительно, введем безразмерный векторный потенциал электромагнитного поля a^ — = (У 2й/с2) А JL1, Векторный потенциал A119 как известно, определен с точностью до калибровочного преобразования a? = a?-f- удф . Из-за произвольности функции ф ее всегда [73] можно выбрать так, чтобы вектор a? был нормирован на ±1. Рассмотрим случай временно-подобного вектора a?
a?a» = а^ + 2 а^Ф + ^%<PVv<P = 1. (3.106)
Это уравнение аналогично уравнению Гамильтона — Якоби. Тогда можно выбрать систему отсчета так, чтобы
т^ = J1 = {УЩс2) A(3.107)
Условие (3.106) однозначно не фиксирует <р. Если задана одна си-
*
стема отсчета, то можно перейти к другой, вектор Tili которой
* * #
связан с т^1 соотношением Tjll = Tm, + VlllfP' где Ф согласно
* * *
(3.106) удовлетворяет условию + S-ma7VilicPVvcP = Таким
образом, имеется класс систем отсчета, ассоциированных с электромагнитным ПОЛЄхМ.
В силу (3.107) тензор электромагнитного поля Fliv можно представить в виде
(У2k/c2) Fliv = - ZAvlv + XllFv - XvFll.
Проектируя это соотношение посредством и /іа» находим в таких системах отсчета
(У26/с2) Ev = Fv; {У 2k!с*) Hliv = - 2Aliv. (3.108)
Характерно, что в ассоциированных с электромагнитным полем системах отсчета электровакуумные уравнения Эйнштейна упрощаются (часть членов справа сокращается с членами слева):
70: dTD - Da^ + vr Fk - (1/2) F^ = 0; (3.109)
+ = (3.110)
(дт - D) (Ava + D$a) + 2 [DkaD^ — AK.aA^ + A^DaJ +
+ Щ Fa + 3i?a? = - (1/2) /la? (FkFx + 2Aha Aut) . (3.111)
Первая пара уравнений Максвелла (3.47), (3.48) в точности совпадает с тождествами Риччи в монадном виде (3.42), (3.43), а вторая пара уравнений Максвелла (в вакууме) представляет собой дополнительные условия на монадные физико-геометрические тензоры:
Fa+ Miav^iav = O; (3.112)
{дт — D) Fa — 2 (уг - Fp) Aa? = 0. (3.113)
Из (3.112) следует, что в таких системах отсчета обязательно должно присутствовать электромагнитное поле.
Ассоциированные с электромагнитным полем системы отсчета в принципе можно реализовать с помощью идеализированной заряженной пыли (из невзаимодействующих между собой частиц), которая движется в заданном электромагнитном поле.
Можно определить системы отсчета, ассоциированные со скалярным полем. В этом случае Tll = (ЦБ) TllvTyf где 1/В — нормирующий множитель; Tliv — тензор энергии-импульса скалярного поля (1.45).
3.8. ПЕРЕХОД ОТ ОДНОЙ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА К ДРУГОЙ
Пусть в пространстве-времени с метрическим тензором gJiv определены две системы отсчета, т. е. заданы два поля монад:
(рис. 10). Рассмотрим движение одной системы отсчета относительно другой, а также преобразование Рис. 10. Сопоставление двух си-временно- и пространственно-спро- стем отсчета
ектированных величин от одной системы отсчета к другой [55]. Для этого представим метрический тензор в двух видах:
(1)(1) (I)mv (2)(2) (2)
gliv = ТЦ TV _ /^v. g-nv ^ ТЦ TV _ Z1^ ?3 J J4J
Т-Г (2)
Пусть dxv взято вдоль конгруэнции т, тогда скорость второй
71: системы отсчета относительно первой
(1) (1)
v^=dx^/dx, (3.115)
(і) (і) (і) (і)
где axv — — hvdxv —пространственное смещение; dx = тvdxv— интервал времени относительно первой системы отсчета. Используя
формулу ds =YSlivdx^dxv = dx Vl — V29 где V2 = v*uv, а также соотношения
(1)(2) (1)
\1) I^J UJ / —
T^ T^ == Tvdxv/ds = 1 / Vl
(3.116)
- Л J1 TH = — hldx^'ds = Vv/ Vl
приходим к релятивистской формуле сложения скоростей
(2) (2) (2) /(1)(1) (1) \ /(1) \ / ,_
Tl* = fVgtf = Tv (Tv т^ — /zV/ = [xv + v») / Vl — Л (3.117)
Отсюда получаем формулу, связывающую 3-мерные метрические тензоры двух систем отсчета:
(2) (2) (2) tf™- = Т(А tV __ ^v =
/(1) W(I) \/ (1)(1) (I)llv (I)llv /(D(I)
= [ T^ + V») [ Tv + / (1 — V2) — T^rv + /^v = ^v 4- [ T^TVU2 +
(D (D
+ u»4/v ^v Tvvny( 1 _V2) e (3.118)
С помощью формул (3.117) и (3.118) легко найти переход между компонентами тензоров, спроектированных на временные и пространственные направления обеих систем отсчета. Так, для произвольного вектора Вд имеют место формулы:
(2) /(D \ / __1
B = [B + B»v[l)/Vl-v2;
(?) <I> [(1)/(1) \ v / (i)\l / к ' '
В»==:В»_ [д ( тМоа + viiJ Jr Bv uv [v* + X^JJ / (1 — у2), J
(S) (S) (і) (S)
где В = B11TV — временные проекции; В11 = —hv Bv — пространственные компоненты вектора относительно системы отсчета s (5=1,2).
