Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
X +іY+ 11 0 ii _0 (2ш
0 — (X — iY+ KI) ||~U- 1 '
Следовательно, характеристическое уравнение (2.6) принимает вид:
\\ X+ IY+ KI \\ И X — ІК +MII=O- (2.11а)
Отсюда следует, что достаточно рассмотреть характеристическое уравнение
И X + iY + KI H = 0, (2.12)
а затем учесть комплексно-сопряженное.
Таким образом, классификация 4-мерных физических пространств Эйнштейна сводится к классификации комплесных ЗхЗ-/С-матриц (2.12). Напомним основные сведения из алгебры ^-матриц [42].
Многочленной матрицей, или K-матрицей, называют матрицу (прямоугольную или квадратную), элементами которой являются многочлены от одного переменного К с комплексными коэффициентами. Таковыми, в частности, являются характеристические матрицы. Над ^-матрицами можно производить так называемые элементарные преобразования трех типов: перестановку двух строк (столбцов); умножение строки (или столбца) на число сф0; прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на любой многочлен f(K).
Две ^-матрицы одинаковых размеров называются эквивалентными, если конечным числом элементарных преобразований можно получить из одной матрицы другую. Таким образом, все матрицы одинаковых размеров разбиваются на непересекающиеся классы эквивалентности. В каждом классе эквивалентности можно определить каноническую (или нормальную) ^-матрицу. Для квадратных канонических ^-матриц (размер пхп) отличны от нуля только элементы на главной диагонали, причем они являются многочленами: ?ц(^), E22(K)y ... Enn(K) с равным 1 коэффициентом при высших степенях К (если многочлен Eiі (A/) Ф^ 0). Кроме того, эти диагональные элементы таковы, что каждый следующий многочлен делится на предыдущий. Многочлены нулевой степени (единицы) стоят в начале диагонали, а нули — в конце. Канонические ^-матрицы являются единственными в своем классе эквивалентности; они характеризуют весь класс.
Очевидно, определитель любой матрицы из соответствующего класса эквивалентности можно выразить через диагональные элементы (инвариантные мно-
п
жители) канонической матрицы: || В (А,) || = с П Ejj(K)1 где с — постоянная. Однако определитель II^(A)II можно записать в виде || В (л) || =
s
= с П (А, — Kk) k где mk — кратность соответствующего корня Kk; (K-Kk) — k=\
так называемые элементарные множители. Из сопоставления этих выражений следует, что инвариантные множители канонической матрицы имеют вид:
E11 = (Я — X1)"" (Я - Я2Л2 . . . (Я + E22 = (Я— K1)^ (Я - Я2)^ . . . (Я — Kf2s;
Enn = (Я - я/™ (Я - Kfn2 ¦ • • Kfns.
где кратности корней в инвариантных множителях удовлетворяют соотношениям: 38 о < axk < &2k < • • • < atih <
2 ajk = mhl k = 1, 2, . . . , s. /=1
Каждому классу эквивалентности сопоставляется характеристика [(an, a2i, ani) (ai2, «22, an2)-(ais, a2s, ane)].
Возвращаясь к случаю характеристических ЗХЗ-матриц, где максимальное число корней равно 3, легко видеть, что может существовать три и только три типа таких матриц:
T1 -[111]; T2 —V [12]; Г^[3].
К ним относятся и классы, соответствующие нескольким инвариантным множителям ненулевой степени. Чтобы различить эти возможности, в характеристике следует расставить скобки:
г;-»-I(I) (1) (I)]; [(1. 1) (1)]; [(1. 1. Ш
— три подтипа первого типа;
Т2->[(2) (1)]; [(1,2)]
— два подтипа второго типа;
Т'3 [(3)]
— третий тип.
(2.13)
у і втщ
I
Учитывая комплексно-сопряженный множитель характеристического уравнения (2.11а), три типа Петрова следует обозначить так:
T1^-Illl, ИТ]; T2 - [12, 12];
T3 - [3, 3],
где черта сверху означает комплексно-сопряженные элементарные множители (корни).
Пенроуз предложил диаграмму для изображения всех возможных подтипов классификации Петрова (рис. 2). На диаграмме введены обозначения: Iy Dy О — подтипы первого типа Петрова [соответствуют первой строке (2.13)]; IIy N — подтипы второго типа Петрова [соответствуют второй строке (2.13)]; III — третий тип Петрова. Заметим, что эти шесть возможностей (подтипов) обычно называют типами по Петрову (например, тип Dy тип Nkt. д.).
Ш[3] N [(J1Z)] ODJ1J17)]
(Tj) (Tz)
(Tl)
Рис. 2. Диаграмма Петрова — Пенроуза для пространств Эйнштейна
2.3. ХРОНОГЕОМЕТРИЯ
Остановимся на измерении времени. Оказывается, пользуясь часами на произвольной временно-подобной мировой линии и возможностью излучать и принимать отраженные сигналы (например, световые — т. е. возможностью радиолокации), можно развить конструктивный вариант теории искривленного пространства-времени в окрестности этой мировой линии. Этот вариант теории, основан-
20 ный на измерении времени, будем называть хроногеометрией. Такую формулировку ОТО подробно рассматривал, например, Синг [5]. Так, Синг пишет: «Для нас единственной основной мерой является время. Длина (или расстояние), поскольку возникает необходимость или желательность их введения, будет рассматриваться как строго производное понятие». И далее: «Фактически мы имеем дело с римановой хронометрией, а не с геометрией, слово геометрия, внушающее опасение, что нам, чего доброго, придется возиться с измерениями длин с помощью метровой линейки, можно было бы в этой связи полностью исключить из употребления, если бы грубое буквальное значение понятия геометрии не приобрело глубокой связи с абстрактными математическими определениями «пространства», «метрик» и т. д.» [5, с. 101].
