Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
* Монадный метод возник в 30-х годах в рамках 5-мерной теории гравитации и электромагнетизма как метод выделения из 5-мерного многообразия 4-мерного пространства-времени (см'., например, '[52]). В рамках 4-мерия для расщепления многообразия на время и 3-мерное пространство этот метод, пожалуй, впервые был применен (в объеме алгебры) Эккартом в 1940 г. [50]. Затем элементы общековариантного монадного метода вводились и использовались в работах Лифа [51], Ульмана [52], Пирани [53], Денена [54], Мицкевича [55], Шмутцера [56] и др. В 1968 г. в кратких тезисах доклада A. JI. Зельманова [57] сообщалось, что им построено «общековариантное обобщение хронометрических инвариантов». По-видимому, имелся в виду аппарат общековариантного монадного метода. Сами термины монада и монадный формализм предложил A. JI. Зельманов [58]. Монадный формализм -на языке внешних форм Картана излагается в работах [59, 60].
Обратим также внимание на важный вопрос о возможности глобального задания поля монады в «-мерном многообразии. Оказывается, эта возможность тесно связана с сигнатурой многообразия. Показано (см., например, [61]), что
в многообразиях с сигнатурой (+--... —) всегда можно глобально задать
поле временно-подобной монады.
20 нельзя описать наблюдаемые величины по отдельным пространств венно-подобным направлениям. Для решения таких задач необходимо наделять наблюдателей большими возможностями, в частности нужно снабдить их совокупностями пространственно-подобных ортов. Это решается в рамках более полных — диадных и тетрадных методов, которые будут рассмотрены в гл. 7.
2. Использование аппарата, основанного на континууме наблюдателей, может показаться чересчур сильной идеализацией. Однако следует напомнить, что, во-первых, в СТО она уже фактически используется и ее применение в случае искривленного пространства-времени представляет собой естественное обобщение привычных понятий. Во-вторых, переход от дискретного (конечного) множества реально осуществимых приборов наблюдателя к континууму идеализированных приборов-наблюдателей представляет собой процедуру такого же рода, как переход от множества материальных точек (частиц) к континууму точек пространства, когда только в части из них находятся реальные частицы.
3. Особо подчеркнем, что приборы-наблюдатели предполагаются пробными, т. е. не влияющими на геометрию пространства-времени.
Хроногеометрия и монадный (континуальный) метод не исчерпывают всех возможностей. Можно развить концепцию так называемого одиночного наблюдателя [62], когда исходной опять является одна временно-подобная мировая линия наблюдателя и указан способ (путь) переноса тензорных величин из произвольной точки пространства-времени на мировую линию этого наблюдателя. Напомним, что в ОТО результат переноса тензоров существенно зависит от пути переноса. В качестве путей можно использовать, например, изотропные (световые) геодезические от произвольных точек до мировой линии наблюдателя. Заметим, что Землю и людей на ней можно рассматривать как одиночного наблюдателя, получающего информацию об окружающем мире с помощью приходящих световых сигналов.
Глава 3 МОНАДНЫЙ МЕТОД ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМ ОТСЧЕТА
ОТО (в собственном смысле этого названия) начинается после введения систем отсчета. Эта глава посвящена систематическому изложению математического аппарата монадного метода задания систем отсчета на основе работ [63—65]. Этот аппарат целесообразно представить в виде четырех составных частей:
1) алгебры монадного метода;
2) определения монадных физико-геометрических тензоров, под которыми будем понимать тензорные величины, построенные из составляющих метрического тензора и их первых производных (они частично заменяют символы Кристоффеля);
20 3) определения монадных операторов дифференцирования (анализ);
4) записи основных соотношений, уравнений и тождеств ОТО через монадные величины и операторы.
3.1. АЛГЕБРА ОБЩЕКОВАРИАНТНОГО МОНАДНОГО МЕТОДА
Как уже отмечалось в § 2.5, монадный метод (формализм) ос-, нован на задании временно-подобной конгруэнции мировых линий. Очевидно, таких конгруэнций можно задать бесконечно много— разным конгруэнциям будут соответствовать разные движения ' систем отсчета.
Jf Пусть выбрана некая временно-подобная конгруэнция, тогда1 в каждой точке пространства-времени можно определить единичный вектор T^ вдоль касательной к мировой линии, проходящей через выбранную точку. Вектор т^ имеет вполне определенный физический смысл, его следует понимать как 4-скорость иР соответствующего прибора (наблюдателя) системы отсчета:
т^ == и^ = dx^/ds, (3.1)
где dx& и ds взяты вдоль выбранной мировой линии. По определению вектор Xм- обладает свойством 4-скорости (нормировки)
^и = ^=1- (3-2>
Покажем, как в рамках монадного метода математически осуществляется переход от произвольных тензорных величин к наблюдаемым в данной системе отсчета. Эта процедура связана с разделением тензорных компонент на временные и пространственные составляющие. Определим временную компоненту произволь-1 ного тензора Bvvim W как проекцию этого тензора по всем индексам на векторное поле B-BvviWiv . . . . . .
