Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Владимиров Ю.С. -> "Системы отсчета в теории гравитации" -> 21

Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.

Владимиров Ю.С. Системы отсчета в теории гравитации — М.: Энергоиздат, 1982. — 256 c.
Скачать (прямая ссылка): sistemotchetateorgrav1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 102 >> Следующая


Для определения пространственных (и смешанных) компонент представим метрический тензор в виде

^v = Vv-V (3.3)

где Hviv —очевидно, тензорная величина. Тогда справедливо соотношение gvy = tHv — Zima7, где Zima7 = hapgUVgVV. Отсюда и из (3.2) следует ортогональность Tv и h?V :

TllHllv = Tfl (тРчУ — g^) = 0. (3.4)

Легко видеть, что справедливы также соотношения тVfillv = т^ = = -ZvJi* = 0, где hl = h^ag™.

Назовем пространственно-спроектированным тензором следующую величину, сопоставленную произвольному тензору Bll'//,:

20 п

ufr. (3.5)

т

Здесь введен оператор пространственного проектирования

п т

fГ: = (— Г)п+т(3-5а)

п т

Термин пространственно-спроектированный тесно связан с рассматриваемой системой отсчета и обоснован тем, что свертка по любому индексу тензора с вектором T11 (временным направлением системы отсчета) по определению равна нулю: ?«- • -та = ??!; 'т$=0. Из произвольного

тензора B^f-- • можно образовать пространственно-спроектированные тензоры меньшего ранга («смешанные» компоненты), например:

п

= (- 1Гт~'Tv/гх . . .

m

. . ж . . . (3.6)

В монадном методе оперируют исключительно со скалярами и пространственно-спроектированными тензорами [типа (3.5) и (3.6)].

Образуем из произвольного смещения dx^ временную и пространственные составляющие: dx = т^dx*1; dxv = — H^dx^, тогда квадрат интервала можно представить в виде

ds2 = (TllTv — Iillv) dx»dxv = dx2 — H^dxMxv ~ dx2 — dl2. (3.7)

Тензор Ziiliv следует понимать как метрический тензор локального пространственно-подобного 3-мерного сечения, ортогонального т^ (рис. 6). Несмотря на то что /ijLiv в общем случае имеет 10 компонент, вследствие условия (3.4) независимыми являются только шесть. Кроме того, поскольку g g^v = 4 = TllTHvTv + HvJillv = 1 -f-

+ HlivHliv, имеем HllXv = 3.

Заметим, что поднимать и опускать индексы у пространственно-спроектированных тензоров можно как 4-мерным метрическим тензором так и 3-мерным тензором Hliv с обратным знаком.

Именно этим объясняется выбор коэффициента (—1)п+пг в операторе пространственного проектирования (3.5а). Следует иметь в виду, что /1?} =^= — /la?; HliaHav= -Hvll.

Рис. 6. Локальное 1+3-рас-жцепление пространства-вре-

20 Введем 3-мерные тензоры Леви-Чивиты:

evla = ^Eavka = Vz^g = XiiEllvla = — (r^—g) SfxvXa.

(3.8 у

Очевидно, что тензоры eVK0 и ev%u являются пространственно-спроектированными. Антисимметричным пространственно-спроектированным тензорам второго ранга можно сопоставить дуальные векторы:

Flkv^F0 = Fllve^- F»V^F0 = F^eilvo.

3.2. МОНАДНЫЕ ФИЗИКО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕНЗОРЫ

Так же как из ^v дифференцированием по координатам были получены символы Кристоффеля, из первых !производных от 4P и Hliv можно получить несколько новых величин. Три из них являются тензорами, они играют важную роль характеристик систем отсчета. В дальнейшем будем называть их физико-геометрическими тензорами.

Введем их формальным образом. Возьмем ковариантную производную от T1I и разобьем ее на симметричную и антисимметричную части: %Wt v = (1/2) (Ttliv-Tviljl) + (1/2) (? v + tv; ^l). Так как нас интересуют лишь пространственно-спроектированные тензоры и скаляры, спроектируем два полученных тензора посредством т^ и ha всеми возможными способами:

(тц ,v — tv ,ц) t^tv = 0; (tm,; v + tv; t^tv = 0; б? oji.vs tv,jll) tv^a == (т|ц; v tv; |ц) t^ha — tv (ta>v т\?>а) = Fa> .

С3-9)

: (1/2) (T^v -TV,ед = Aafi; (3.10)

- (1/2) (tlitv + tv. O? = (1/2) (т'-кгф.х + haxt\ + hM = Аф-

(3.11)

Таким образом, получились три тензорные величины Fa\ Аа$ = =—A?a'y Da^ = D^a. Дифференцирование HlJiv по координатам к новым величинам не приводит, так как

Aaw a = (gXa4 + fifrb) - d^ + f^)' (3-12)

Выпишем несколько полезных соотношений:

^m,; v — ^iliv Dilv -f- FJJitv; i

Ailv = (1/2) (Tliiv — Tv>m) + (1/2) (TtiFv — TvFti); (3.13)

TTwv = O; AapJOftSft? = J Выясним физический смысл введенных тензоров. По определению система отсчета представляет собой некую безмассовую сплошную среду из приборов, a Tili является 4-скоростыо этих приборов. Тогда антисимметричный тензор Аа$ следует считать тензором угловой скорости вращения, а симметричный тензор Aiv — тензором скоростей деформаций системы отсчета.

Для определения физического смысла га заметим, что, зная конгруэнцию мировых линий, можно определить в каждой точке пространства-времени четверку ортонормированных векторов:

?^, y?t сопровождающую тетраду [7]. Для них имеют место формулы Френе — Серре:

T^rj1v= R1I11; (3.14)

T^v = R2?? + R1A Tv^v ^= R3y»-R2Ia; =-R3^f (3.15)

і где т^ направлено вдоль линии, a Zm", Pm" и Ym"— соответственно первая, вторая и третья нормали к линии в рассматриваемой точке. Векторы ортонормированы, т. е.

Vli = PMPli = YnY14 = -I; Vм" = t^Pf1 = • • .=ZmP11 = 0.

Коэффициенты Ru R2 и 7?3 называют соответственно первой, второй и третьей кривизнами линии в данной точке.

Из уравнения (3.14) находим: R1I11 = F11; R2l = -FviF11t т. е. вектор Fil определяет первую кривизну линии и является ускорением прибора системы отсчета. Из (3.14) следует, что для геодезических Fll = 0. Вторая и третья кривизны определяются через первые и вторые производные от Fll.
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 102 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed