Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Владимиров Ю.С. -> "Системы отсчета в теории гравитации" -> 18

Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.

Владимиров Ю.С. Системы отсчета в теории гравитации — М.: Энергоиздат, 1982. — 256 c.
Скачать (прямая ссылка): sistemotchetateorgrav1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 102 >> Следующая


двумя временно-подобными геодезическими тит позволяет хроногеометрически ввести величины, соответствующие компонентам символов Кристоффеля. 7. Наконец, анализ процессов пятикратного отражения сигнала между двумя временно-подобными геодезическими приводит к хроногеометрическому определению величин, непосредственно связанных с компонентами тензора кривизны [47, с. 59].

2.4. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПРОБНЫХ ЧАСТИЦ

На явном использовании физической асимметрии временной и пространственных координат основан вывод уравнений движения пробных частиц, Как уже отмечалось, движение свободных пробных частиц по временно-подобным геодезическим сначала постулировалось, а затем было выведено из уравнений Эйнштейна. Кроме того, оказалось, что уравнения движения, вообще говоря, зависят от внутренней структуры частиц. Если ее учесть, то уравнения движения следует немного подправить. Покажем это, основываясь на методе Фока и следуя работе [48].

\ Пусть пробная частица имеет размеры, малые по сравнению с характеристическими размерами внешнего поля. Будем считать, что ее размеры стремятся к нулю. Эволюцию частицы во времени можно изобразить в виде трубки временно-подобных мировых линий. Тензор энергии-импульса частицы T^iv отличен от нуля только внутри трубки. Выделим внутри трубки некоторую (0)

линию т , координаты точек которой будем обозначать л;^. Координаты-остальных точек на пространственно-подобных сечениях трубки мало сгличаются от X^yXa — Jt^0J = Рассмотрим интегралы вида

J у—g T^da-, і V~g T^tdo-,

где интегрирование производится по малой области (внутри трубки) 3-мерной пространственно-подобной гиперповерхности JCu = const (рис. 5). Следует заметить, что в общем случае в искривленном пространстве-времени не определены интегралы от тензорных величин, однако в малой области они имеют смысл. Эти интегралы характеризуют внутреннюю структуру пробной частицы. Пробную частицу называют монопольной, если отличны от нуля лишь какие-то компоненты интеграла J У—g TixvClo, тогда как все остальные интегралы обращаются в нуль. Дипольной частицей называется такая, которая имеет отличные от нуля компоненты только первых двух интегралов (2.21), квадруполъ-ной — трех интегралов и т. д.

Выведем уравнения движения для монопольных и дипольных частиц.

Монопольные частицы. Согласно уравнениям Эйнштейна

= 0 -> (d/djfi) (У^g T0*) + r?v y~g Tilv = 0. (2.22)

Отсюда следуют также соотношения:

(д/дх*) (ха y~g T^) = y—g T0* - ха І* У=і T^. (2.23)

iy-gT^tlpda; . . . , (2.21)

Рис. 5. Трубка временно-подобных мировых линий протяженной частицы

20 Интегрируя (2.22) и (2.23) по 3-мерной гиперповерхности л:0 = const, имеем соответственно

j y—g Ta0Cla = - j T^ y-g da; (2.24)

JL j ^a T?0 у — da = j y— j^da _ j r?v у— rnv da_ (2.25)

Внутри трубки разложим символы Кристоффеля в ряд

(0) (0)

rSv= rSv + rSv,a ^a+- • • . (2-26)

(0)

где индекс (0) сверху соответствует значению величин на линии т . Подставляя это разложение в (2.24), (2.25) и учитывая, что частица монопольная, находим в основном приближении:

JL j y—g Ta0Clo + (r«v j y~g T^ da = 0; (2.24a)

j y—g T^ da = -^L j y—g T-POrfa. (2.25a)

Введем обозначение

Moc? = uo j у— Ta$dot (2.27)

где u0 = dx°0)/ds; ds2 = g?V dxf0)dxv(0). Тогда уравнения (2.24), (2.25) принимают вид:

(d/ds) (Ма0/ио) + ^cjv M^v = 0; (2.246)

Ma? = waM?%0, (2.256)

где иа = dx^fds. Полагая в (2.256) ?=0 и подставляя результат опять в (2.256) справа, можно записать:

= OT0MaMp, (2.28)

где от0 = (м°)-2M00 (физический смысл этого и других выражений корректно обосновывается в терминах систем отсчета, см. гл. 3). Используя (2.28) и опус-(0)

кая индекс (0) сверху у Tjliv, выражение (2.246) можно представить в виде (d/ds) (OT0Ma) + TavOT0 и» Uv = 0. (2.29)

Если использовать вполне понятное свойство (сохранения массы частицы)

dm Jds = 0, (2.30)

то придем к выводу, что монопольные пробные частицы движутся по временно-подобным геодезическим (1.13).

Дипольные частицы. В этом случае к уравнениям (2.22), (2.23) следует добавить соотношение, также следующее из (2.22):

W VzrS Ty6) = *? V^g TVa + JCa У-=і Т* - XaJCpTYv y—g T^. (2.31)

Опять производя интегрирование по 3-мерной пространственно-подобной гипер-44 поверхности X0 = const и используя разложение (2.26), из этих трех соотношений находим соответственно:

j V=S Ta'0 do + r«v j V-g T^ do + r«v> x j t V~g T^do = 0; (2.32) j y~g r* do = A j y—g T^ da + + jV V=i da + rPv j |a V=S T^do; (2.33)

= Jr v=i Tlpv do + j V-g T01Vda. (2.34)

Введем обозначение, аналогичное (2.27):

M^v = _ цР J g* y=? T^v do. (2.35)

Очевидно, что М0мд7=0. Определим важную величину — тензор спина частицы SaV = _ (i/tto) (Mapo -Mpa0). (2.36)

Используя (2.27), соотношение (2.34) можно записать в виде

ио (д^у + M?aY) = и<*М№ + ^«уО. у.ЗЩ

'С помощью простых алгебраических выкладок из (2.34а) и (2.36) выразим Ma^ через Sa^ и иа:

M^Y = _ (Sa? wy + S^y u?) + (50? + soY a?)e (2.37)

Используя обозначения (2.27) и (2.35), соотношения (2.32) и (2.33) запишем следующим образом: $
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 102 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed