Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
В нашем случае 0о = О, ?=-|-, /?=1, и выражение для
циркуляции будет
Г = — 2па | vx | sin а. (14.8)
Соответственно выражение для комплексного потенциала можно записать в виде
w (z) = j (z + л/z2 — а2) + у (z — л/z2 — а2) +
+ ia | | sin a In (г + У22 ~ q2 )• (14.9)
Здесь Voo = \voo\e~ia, vx = Имея комплексный потен-
циал, можем найти комплексную скорость и и ее составляющие vx и vy в точках пластины. Картина обтекания приведена на рис. 30, а.
159
Определим силу, действующую на пластику, используя формулу (14.8) для циркуляции. По теореме Жуковского
Интересно отметить следующее. Хотя в идеальной жидкости все элементарные напряжения нормальны к пластинке, возникает результирующая сила Rx, направленная по касательной к ней. Это связано с тем, что постулат Чаплыгина—Жуковского накладывает ограничение на величину скорости лишь у задней острой кромки. Если представить себе переднюю кромку закругленной, имеющей малый радиус кривизны, то скорости вблизи
носовой части будут очень велики, а давление, согласно уравнению Бернулли, мало. Образующаяся разность давлений между кормовой и носовой частями профиля приводит к появлению некоторой «подсасывающей» силы, параллельной оси х. Если радиус кривизны закругления устремить к нулю, то скорость вблизи передней кромки будет неограниченно возрастать, а давление — падать. Непосредственными вычислениями можно убедиться, что при этом «подсасывающая» сила будет стремиться к некоторой предельной величине, совпадающей со значением Rx из (14.11).
Величина силы Жуковского для пластинки
В случае плоского течения за S принимают произведение хорды на единицу размаха крыла. В нашем случае S = 2а и
Откуда
R — /ри^Г = — 2л/ра | v^ р e~ia sin а.
Rx = — 2лр | |2 a sin2 а,
Ry = 2лр | |2 a sin a cos a.
(14.11)
(14.10)
x
Рис. 30.
P = \R\ = 2лар | vM |2 sin a.
Часто рассматривают коэффициент подъемной силы
(14.12)
(14.13)
СР — 2л sin a.
(14.14)
160
При малых углах а
CpSi 2яа, -~-^2л.
(14.15)
Ранее была получена формула (13.9) для момента сил, действующих на профиль. Учитывая (14.6), получим выражение для момента сил, действующих на пластинку, в виде
Учитывая (14.12), выражение для L можно записать в виде
Из (14.17) следует, что точка приложения равнодействующей
силы находится на расстоянии -j части хорды от передней
кромки (рис. 30, б).
Эксперимент показывает, что результаты, полученные при рассмотрении обтекания пластинки, могут быть использованы для тонких профилей при малых углах атаки.
§ 15. ОБТЕКАНИЕ ПРОФИЛЕЙ ЖУКОВСКОГО А. Профили Жуковского
Было установлено, что конформное преобразование
отображает внешность круга единичного радиуса в плоскости ? во внешность отрезка [—с, с] вещественной оси плоскости г. Перепишем формулу (15.1) в виде
и введем новые переменные г' и ?' с помощью преобразования подобия
Преобразование (15.4) переводит внешность круга радиуса с в плоскости ?' во внешность отрезка [—2с, 2с] плоскости г'. Перепишем (15.4) следующим образом:
L = — Re (2ш'р | v„ [2 е-2?а) = — -Ц- р | vM |2 sin 2а. (14.16)
L
(3 Г)
Y cos а Р.
(14.17)
(15.1)
(15.2)
2z = z', с? = ?\
(15.3)
Тогда получим
(15.4)
(15.5)
6 Зак, 1031
161
Точки ?' = с и ?' = —с соответствуют точкам г' = 2с и z' ==
— —2с. Произвольная окружность в плоскости ?' с центром на мнимой оси, проходящая через точки ?' = с и ?' = —с, соответствует некоторой кривой плоскости z', проходящей через точки z' = 2с и г' — —2с. Если центр окружности L расположен з точке ?' = ki мнимой осп, то ее радиус F'B' равен /? = д/с2 + /г2 (рис. 31, а). Любая точка А' окружности L перейдет в некоторую точку А плоскости г', при этом точки В'(?' = с) п С' (t,' — —с) перейдут в точки В (г' — 2с) и C(z' = —2с).
Нетрудно видеть, что
BA = ОА — ОВ, В'А^ОА-ОВ',
СА = ОА —ОС,
С'А =ОА' - ОС'.
(15.6)
Векторы BA, СА, В'А' и С'А' являются изображением некото' рых комплексных величин. Представим эти величины в виде
z' — 2с = г^', г' + 2с = г2еш\
, „_Л,в. (15-7)
S' + С = р2егв»,
Из формул (15.5), (15.7) непосредственно следует равенство
LL el (а, — а2» _ (Jll V г г V Рг /
оИ Ш,-Вг)
(15.8)
или
Откуда
In -j- + i (а,
а2) = 21п-^ +2/(р, —р,).
Р2
а| — а2 — 2 (^! — (У-
