Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть в плоскости z имеем эллипс с полуосями а и Ь. Задача об обтекании эллипса поступательным потоком, имеющим скорость Voo, будет решена, если будет известен комплексный потенциал w(z). Для этого надо построить функцию t, = F(z),
которая отображает
внешность эллипса на внешность круга. Наряду с плоскостью г рассмотрим плоскость ? (рис. 26).
Введем преобразование Жуковского
:^ + т-
(8.1)
Подберем постоянную с так, чтобы (8.1) давало преобразование области плоскости ? вне круга радиуса R в область плоскости z вне эллипса. На окружности
Подставляя (8.2) в части, получаем
* = (/? +
g = Rem = в (8.1) и
R (cos 0 — i sin 0). отделяя вещественную
с‘
~R
COS I
(R-x)
(8.2)
и мнимую
(8.3)
148
Уравнения (8.3)—параметрические уравнения эллипса с полуосями
a = R + ^-, b = R-jr. (8.4)
Функция (8.1) будет давать отображение окружности на эллипс с заданными полуосями а и Ь, если положить
/? = у(а + &), с = д/j (а — b) R = у д/а2 — Ь2. (8.5)
Преобразование (8.1) при этом запишется в виде
1 л* ^ — h ^
z = ? + (8.6)
Получим преобразование, обратное (8.6), т. е. функцию ? =
— F(z). Согласно (8.6)
S2-?z + 1(а2_й2) = 0> g = . (8.7)
Обратное преобразование не однозначно. Выберем такую ветвь корня, чтобы внешность эллипса перешла во внешность круга. Для этого в (8.7) следует взять знак плюс. Действительно, при больших г в этом случае из (8.7) имеем
Таким образом,
; = F (г) = г " R = ^±^, k=\. (8.8)
Комплексный потенциал обтекания эллиптического цилиндра будет иметь вид
w (г) = у vM (z + Vz2 — (а2 — 62) ) + у (г —
— л!г2 — (а2 — Ь2)) + In (г + л! z1 — (а2 — 62) ). (8.9)
§ 9. ПОСТУЛАТ ЧАПЛЫГИНА — ЖУКОВСКОГО
Пусть в плоскости г имеется профиль с одной угловой точкой, причем угол б < л. Введем вспомогательную плоскость ?. Пусть функция z = /(?) отображает область плоскости ? вне круга радиуса R с контуром I' на внешность профиля (рис. 27).
Рассмотрим вопрос о вычислении скорости в угловой точке
А. Точка А при отображении переходит в точку А' окружности V. Комплексная скорость в точке А может быть представлена в виде
1
Va =
dw (г) dW(t) dW&)
dz А dl А‘ dz A dl
A' dz_ dl
(9.1)
А'
149
Функция г = /(?) преобразует угол л в точке А' в угол 2л— 6 в точке А. Поэтому в окрестности точки А конформность отображения нарушается и функция г(?) должна иметь разложение вида
2Л—в
z-zA = M($-ZA.)-TT- + ... (9.2)
Отсюда
dz
dl
А’
2я — б . ,
0.
(9.3)
Обратимся к равенству (9.1). В нем при ? = ?л, второй множитель в силу (9.3) обращается в бесконечность. Если скорость dW dl А,
не равна нулю, то скорость vA в угловой точке профиля
будет бесконечно велика, что физически недопустимо.
Требование, чтобы скорость в задней острой кромке была конечна, составляет содержание постулата Чаплыгина — Жуковского. Выполнение этого постулата возможно только в том
dW
случае, если скорость -щ- в точке А равна нулю, т. е. когда
точка А' является критической в потоке, обтекающем цилиндр. Положение точки А' зависит от величины циркуляции.
Отсюда следует вторая формулировка постулата Чаплыгина — Жуковского: циркуляция при обтекании профиля с. острой кромкой А такова, что точка А' окружности, в которую переходит при конформном отображении точка А, должна являться критической в потоке, обтекающем цилиндр.
В критической точке А' сходятся струи потока, обтекающего цилиндр. Так как линии тока плоскости ? при отображении переходят в линии тока плоскости 2, то точка А профиля также должна быть точкой схода струй. На основании этого может быть дана и третья формулировка постулата. Циркуляция при обтекании контура с острой кромкой такова, что эта кромка является точкой схода струй.
150
Постулат Чаплыгина — Жуковского позволяет определить значение циркуляции Г. Для комплексного потенциала W (?,) имеем формулу (7.9):
W(0 = ku^ + k^ + ~ In?. (9.4)
Комплексная скорость будет
™. = ku + (95)
dt, °° ?2 ^ 2ш ? ' ' ’
Пусть поток, набегающий на профиль, наклонен под углом а к оси х, т. е.
v00 = \vxi\e-ia, = | | eia. (9.6)
Положим в (9.5) ? = Тогда согласно постулату Откуда
