Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Результат, заключающийся в том, что тело, обтекаемое потоком идеальной жидкости, не испытывает сопротивления, иоснт название парадокса Даламбера.
MS
Если в случае в) величину Г увеличивать так, что 4V R2 <С
Г2
то кРитическая точка по мнимои оси будет удаляться
от цилиндра и в пределе получим чисто циркуляционное течение.
Можно поставить вопрос: какое же течение реализуется па самом деле? Для идеальной жидкости возможны все указанные случаи. При решении задачи об обтекании цилиндра либо должна быть задана циркуляция, либо какие-то дополнительные условия (например, симметрия потока и др.). Тот факт, что решение задачи содержит произвольный параметр Г, оказывается существенным при решении многих практически важных задач.
§ 7. МЕТОД КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Рассмотрим решение задачи об обтекании контура произвольной формы (рис. 25). Плоскость, в которой расположен контур I, выберем за плоскость комплексного переменного z = х + -f- iy. Одновременно с плоскостью z рассмотрим плоскость ? =
= t + 1Т1 и в ней круг радиуса R. Область плоскости z вне контура I обозначим через D, область плоскости ? вне окружности I' радиуса R обозначим через D'.
По теореме Римана о конформном отображении существует аналитическая функция z = /(?), которая преобразует область D' в область D таким образом, что точки контура I' переходят в точки / и любая наперед заданная точка Л'еО' переходит в заданную точку /lefl. Эта функция будет единственной, если в точке А' задан arg//(^л,) = ф0. Воспользуемся этой теоремой, выбрав в качестве точек А и А' бесконечно далекие точки плоскостей z и ?, и положим при этом ф0 = 0. Это значит, что мы берем такую функцию z = /(?), которая преобразует бесконечно далекую точку плоскости ? в бесконечно далекую точку плоскости z и не меняет направлений в этой точке. Для этой функции в бесконечно далекой точке ? = оо производная есть
dz , п
вещественное положительное число, т. е. —г = к > 0.
dl
146
На основании теоремы Римана существует и обратное преобразование ? — F(z).
Предположим, что нам известны функции
2 = Z = F(z). (7.1)
Будем рассматривать задачу об обтекании контура I потенциальным потоком, скорость которого на бесконечности задана:
О =0 r +
v ОО OO'V I oo У
Пусть w(z) — комплексный потенциал, соответствующий этому течению. В w(z) заменим г его выражением (7.1) через ?:
w(z) = w[f(Q] = W(Q. (7.2)
Так как функция w(z) определена во всех точках области D вне I, то W (?) определена в точках D' вне Аналитическую функцию W(t,) можно рассматривать как комплексный потенциал некоторого течения в плоскости ?. Каждому течению в плоскости z можно поставить в соответствие течение в плоскости ?, комплексный потенциал которого получается по формуле
(7.2). Найдем это течение. Положим
w (г) = ф (х, у) + г'г|з (х, у),
W(0 = O(l, r\) + W(l,r\). (7'3)
В соответствующих точках плоскостей z и ? имеет место равенство (7.2), т. е.
Ф (х, у) -f л|з (х, у) = Ф (?, Ti) -f iW (I, ri). (7.4)
Следовательно, в соответствующих точках
Ф (х, у) = Ф (|, ri), г|з (х, у) = Ч1 (g, ri). (7.5)
Функция w(z) есть комплексный потенциал обтекания неподвижного контура I в плоскости z. Поэтому функция тока -ф (л:, г/) на контуре / постоянна. Контуру I соответствует окружность V в плоскости следовательно, в силу (7.5) на Г функция Чг(^, т]) будет также постоянна, т. е. окружность есть линия тока течения, комплексный потенциал которого W(?,). Выясним условия на бесконечности для этого течения. Комплексная скорость
Т} dw dw dz - , ч dz
= = = <7-6) В плоскости z в бесконечно далекой точке скорость известна. По построению функции (7.1) производная-^- в бесконечности положительна:
( dw\ _ . dz l ^ п
= = -dix = k>0-
147
Следовательно,
Таким образом, W(?,) определяет в плоскости Z течение вне круга, причем скорость потока на бесконечности равна kvx. Но комплексный потенциал обтекания кругового цилиндра известен, он имеет вид
W(0 = kv^ + ^f^ + ^-Aut. (7.8)
Заменяя ? в (7.8) на F(z), получаем
w(z) = kv„F(z) + ^- + ~\nF(z). (7.9)
Формула (7.9) дает решение задачи об обтекании произвольного контура потенциальным потоком, если известно конформное отображение области вне I на внешность круга, т. е. если известна функция ? — F(z). Величина k находится по формуле
В решении (7.9) циркуляция Г остается не определенной.
§ 8. ОБТЕКАНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА
