Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
(k = 2, 3, ...).
Коэффициент В остался не определенным. Введем для него обозначение через новую постоянную Г. Положим
В=-±. (6.14)
Подставляя (6.13) и (6.14) в (6.9), получаем выражение для комплексного потенциала
/Ч /„ -,,ч , Г- , Wx-Ux)R* + t(Vy-Uy)R* ,е 1СЧ
w(z) = (Vx-LVy)z + j—lnz-\----------------------------------. (6.15)
142
Вводя обозначения
V'-iVy^V", Vx + iVtJ=Vm, Ux + iUy = U, (6.16) запишем решение (6.15) в виде
D2 Г
(6.17)
W (2) = V^Z + (1/тс — U) + 2^- In 2.
Это общий вид комплексного потенциала обтекания кругового цилиндра. Он представляет сумму трех слагаемых, из которых VooZ — комплексный потенциал поступательного потока, второе слагаемое — комплексный потенциал течения от диполя, третье — потенциал течения от точечного вихря. Таким образом, течение около цилиндра можно рассматривать как течение, полученное наложением поступательного потока на поток от диполя п от вихря. Постоянная Г, имеющая смысл интенсивности вихря, входит в решение как параметр.
1. Пусть обтекается неподвижный цилиндр. Тогда U =
= 0 и
Ш, (2) = V„Z + V" 4- +
+ ~<nz. (6.18)
2. Пусть цилиндр движется в жидкости, покоящейся на бесконечности. Тогда у*, = У», = 0 и
w2{z) = -U-? + ^rlnz.
(6.19)
3. Пусть цилиндр неподвижен п скорость потока в бесконечности равна нулю. Если U — 0 и Vx = Vx = 0, то
ВУ3(2)=-^-1П2.
(6.20)
Имеем чисто циркуляционное обтекание цилиндра.
Обтекание неподвижного цилиндра. Займемся анализом картины течения около кругового цилиндра. Будем предполагать, что U = 0, т. е. цилиндр неподвижен и поток на бесконечности направлен вдоль оси х (ось х всегда можно направить по направлению скорости в бесконечности). Комплексный потенциал (6.18) при Vx = V, 1Л, = 0 принимает вид
w(z) = V (z+~) + -2-\nz. Рассмотрим два случая.
(6.21)
А. Бесциркуляционное обтекание цилиндра ]
В атом случае
^Ф)=1'0+4)-
или
ф + ^ = I/ (.V 4 iy _|_ .
Отсюда
¦г=|'.<(| + :ИЫ'
¦ = VlJ (1 — 7ПГ»0 •
Линин тока ф = const, т, е.
.v(> -^4V)=cons[
есть кривые третьего порядка, симметричные относительно осп у. Ли (Ши -ф = С) it = —Cj симметричны относительно оси х. При ф = 0 уравнение линии тока распадается па два множителя: у = 0 — ось .V и х2 + у2 = R2 — окружность.
Рассмотрим поле вектора скорости. Перейдем к полярным координатам (г, В). Тогда
Ф= Vг cos o(l+ уг) •
К cos 6 (l —-рг), (6.24)
®в“т-ж“-™п0(1 + -?)-
Формулы (6.24) дают компоненты скорости в любой точке потока. Полагая в (6.24) г = R, получаем скорость на поверхности цилиндра
о, = 0, оп= — 2I/5in 0. (6.25)
В точках цилиндра 0л = и, 0s = 0 скорость равна нулю, т. е.
точки А п В—критические, В точках Ос = -2-, 0о = — ско-
рость имеет наибольшую величину, равную 2V. Нел и скорость известна, можно найти давление из интеграла Бернулли
¦Y + f = C, /J = p(C-2Fsin26). (6.26)
Как видно из (6.26), в точках цилиндра N, Р, Q, М. определяемых углами ±0, ± (л — 0), давление одинаково, п потому главны!) вектор сил, действующих на цилиндр, будет равен пулю.
Б. Обтекание цилиндра потоком с циркуля!шеи, В этом случае ш(г) имеет вид (6.21). Комплексная скорость
6 <г> = IV = ]/ ( 1 - ТЧ + ^ 7¦ <6'27>
lit
' = 0 (рис. 23).
(6,22)
(6.23)
Найдем критические точки потока, в которых vx = = 0. При-
равниьая нулю й(г)= vx — iv^, получаем квадратное уравнение, корни которого г\, 22 дадут координаты критических точек
W + ^ z - VR- = 0,
*'•>:= W (- 1Н7 ± V- <&• + 4 W)¦ <6'28>
Здесь возможны различные случаи:
а) ¦—+ 4V2R2 > 0 — критические точки расположены
на обтекаемом цилиндре |zi,2| = R симметрично относительно оси у, Im2[ = Im22, Re z, ~ ~Re гъ
Гя о
б) —-^- + 4V’2#i = 0—две критические точки сливаются в
Г
одну, расположенную на мнимой оси: i zlt •, | = R, z, — Zo =
Г-
в) — + 4V-R2 < 0 — оба корня уравнения мнимые, причем [Z|| -< R, \z2\ > R. В области течения имеется одна кри-
тическая точка на мнимой оси вне цилиндра.
а В S
Картина течения в рассмотренных случаях, если для определенности принять Г > 0, изображена на рис. 24.
В рассматриваемом случае обтекания цилиндра с циркуляцией линии тока симметричны относительно осп у. Давления в точках цилиндра, симметричных относительно осп у, одинаковы по величине. Симметрии течения относительно оси х здесь уже нет. Поэтому возникает сила, действующая на цилиндр в направлении осп у. Сила в направлении осп х, как и в первом случае, равна пулю.
