Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть уравнения верхней и нижней частей профиля
Ув = Уа(х), уя = уи{х). (16.1)
При построении функции г = /(?), осуществляющей отображение внешности профиля (16.1) на внешность единичного круга в
плоскости ?, будем иметь в виду, что бесконечные точки в плоскостях г и ? соответствуют друг другу и ¦—
Будем искать функцию г = /(?) в виде ряда
>0.
z=f(Q = kra + k о+У° (16.2)
'rt-1 *
— вещественное положительное число. Пусть
о
kn = an + ibn (п = 0,1,2,...). (16.3)
Подставляя (16.3) в (16.2), учитывая, что в плоскости ? на окружности I' единичного радиуса ? = е‘е, получаем
z = х -(- iy = k (cos 0 + i sin 0) + + ibo +
+ EL fan + ibn) (cos nQ — i sin гг0). (16.4)
Отсюда
х — а0 -f- (k -j- ai)cos0 + b\ sin 0 -f- ? „ (a„cos«0 + bns in«0),
Г (16.5)
У — bo + b{ cos 0 + (k — cii)sin 0 + z:=2 (bncosnB — ans in Л0).
При изменении 0 от 0 до 2я точка с координатами х и у
должна описывать контур / в плоскости г. Нужно найти такие
кп
168
коэффициенты k, ап и bn, чтобы формулы (16.5) были параметрическими уравнениями заданного профиля. Задача о нахождении коэффициентов разложений (16.4) и (16.5) решается приближенно.
Здесь нужно учесть, что для любого метода последовательных приближений очень существен выбор нулевого приближения.
В методе Нужина за нулевое приближение была принята функция Жуковского
которая отображает внешность круга на внешность отрезка [—а, а]. Согласно (16.6)
Формула (16.7) устанавливает соответствие между и и 9. Если 0 меняется от 0 до л, имеем верхний берег разреза, если 0 меняется от л до 2л, — нижний.
Сопоставляя (16.7) с (16.4) и (16.5), получаем
Для того чтобы в следующем приближении учесть толщину профиля, в формулах (16.1) заменяют х на хт из (16.7). Тогда в первом приближении будем иметь
Ряд (16.10) может быть использован для нахождения в первом приближении коэффициентов разложений (16.5).
(16.6)
*(°) = a cos 0, i/(0) = 0.
(16.7)
*(0’=|. <> = 0, 6<0> = 0, а}°> = у,
ft<o> = 0, aj® = 0, bf — 0 (п = 2, 3, ...).
(16.8)
= Уа (a cos 0), 0 < 0 < л,
*/<*> = «/„ (a cos 0), лг=С0< 2л,
или
0 е= [0, л],
0 s [л, 2л].
(16.9)
Функцию у(1)(0) можно разложить в ряд Фурье:
Запишем (16.5) для первого приближения: л0) = + (?(1) + а*1)) cos 0 + Ь\1) sin 0 +
+ ИГ-2 К>cos sin «0), (16.11)
уО) = 60) _j_ 6(1) cos 0 + (#‘> - а<‘>) sin 0 +
+ ИГ-2 cos«0 — а^1* sin rc0). (16.12)
Сравнивая (16.10) и (16.12), получим
а(1)
__2__М1) „(1) _«,(!) „(1) _/,(!)
2 0 ’ — °1 - °п> (16.13)
рш = fed) - а<», W = - а»> (« = 2,3,...).
Из (16.13) видно, что у нас нет данных для определения а^ и kw (a*1* = ?<n — (J*11). Укажем условия, из которых их можно найти. Подставляя (16.13) в (16.11), будем иметь
jc(1) = а<*> -j- (2km — Pj1*) cos 0 -j- sin 0 +
+ (— P},0 cos nQ + sinrc0). (16.14)
Из выбора системы координат следует, что в любом приближении должно быть
Хд -K-mln Cl, Xq Xmax Д. (16.15)
При этом в первом приближении точкам хтах = хв и xmin = xA соответствуют значения 0^’ и 0^, которые не равны значениям 0В = О и 0л = я. (При хорошем выборе нулевого приближения 0^ и 0^> будут близки к величинам 0 и я.) Из равенства
dxw
^Г = 0 (16.16)
получим
00) = 0(1) (fe(D), 00) = 00) (fed)) (16Л7)
(при дифференцировании (16.14) коэффициент исчезает, неизвестным остается лишь kw).
Подставим экстремальные значения 0 в (16.14) и образуем выражение
^1ах^(,))-^)1п(*(1)) = 2а. (16.18)
Из (16.18) находим численно ?(1). Потом из любого равенства
(16.15) найдем а*,1*. Тогда все коэффициенты разложения (16.2)
будут определены, т. е. нам будет известна функция
z = fw(Q. (16.19)
170
Для дальнейшего уточнения решения нужно по существу повторять ту же процедуру, которая позволила перейти от нулевого приближения к первому.
Так, для получения второго приближения надо найденное *(1)(0) подставить в (16.1), в результате чего найдем
