Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
системы, измеряемые локальным наблюдателем, движущимся вместе с ней,
остаются одинаковыми для состояний
(d) и (а) и для состояний (с) и (Ь). Учитывая это, перепишем
(70.8) в
виде_____________________________________________________________________
___________
Q2 = {Еа - Eb + р (va - vb)} Vl - w2/c2
или, привлекая условие (70.1), получаем следующий результат:
Qi = -QiVl- "2/са- (70.9)
С другой стороны, в соответствии со вторым законом термодинамики,
очевидно, справедливо соотношение
g + = (70.10)
так как полное изменение энтропии системы после окончания цикла должно
равняться нулю.
Объединяя выражения (70.9) и (70.10), приходим к окончательному
результату:
7'2 = 7'1]/г1 - ц2/с2. (70.11)
Для изучаемого нами процесса величина Ти стоящая в последнем выражении,-
это температура системы 5 (паровой машины), когда она находится в покое,
а Т2 - значение, до которого опускается температура системы, когда
скорость ее достигает значения и в результате процесса, не изменяющего в
системе внутренних условий, фиксируемых локальным наблюдателем, который
движется вместе с этой системой. Последнее выражение полностью совпадает
с правилом преобразования температуры (69.19), которое было получено
несколько иным способом.
§ 71. ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЙ ПОДХОД В ТЕРМОДИНАМИКЕ
169.
б) Динамика теплового излучения. В качестве второго применения метода,
развитого в этой главе, рассмотрим динамику полости, испускающей черное
излучение и имеющей скорость и.
В соответствии с закономерностями (65.3) и (65.4) энергия, и давление
такой системы выражаются следующим образом:
E0 = av0T*0 (70.12)
и
р0 = уйТ40, (70.13)
если они измеряются локальным наблюдателем, который движется с той же
самой скоростью, что и рассматриваемая полость. Тогда, используя
преобразование (69.11), перепишем выражение для энергии в координатах
системы отсчета, относительно которой полость движется со скоростью и:
atViTg + ~ av0Tiu2/c2 1 + \и2!с2
Е = ' у Дм = ?"уТ=Ш' (70Л4)
а импульс системы, в соответствии с соотношениями (69.6) и (69.10),
выразим так:
а-о7о + зг яаоТ'о и 4 F" и
G =-----.. ¦ 4=4 4- (70.15)
V1 - u2jc2 сi 3 У\ - и21C2 с
Любопытно, что эти выражения для энергии и импульса движущейся полости
согласуются с выражениями, полученными Мо-зенгейлом [53] непосредственно
из электромагнитной теории излучения, без явного использования теории
относительности.
§ 71. Четырехмерный подход в термодинамике
В ходе изучения динамики механических сред оказалось возможным
сформулировать законы сохранения массы, энергии и импульса на языке
четырехмерной геометрии. Все они записались в виде единственного очень
компактного уравнения
(37.9):
dT"''/dxv=0. (71.1)
Компоненты фигурирующего здесь тензора энергии - импульса Tw задаются
через плотности массы, энергии, импульса и натяжений с помощью таблицы
(37.8). Уравнение (71.1) можно применять совместно с первым законом
термодинамики для исследования внутренних энергетических переходов в
механической среде.
170
ГЛ. V. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ И ТЕРМОДИНАМИКА
В настоящем параграфе будет также дана ковариантная формулировка второго
закона термодинамики, которая в дальнейшем сыграет важную роль при
распространении термодинамики на общую теорию относительности.
Для начала выпишем второй закон термодинамики в его прежнем виде (68.2).
Затем возьмем малый элемент какой-либо конкретной термодинамической
жидкости или среды в качестве системы, к которой мы будем применять этот
закон. Если объем этого элемента бо, а ф- значение плотности энтропии в
точке, в окрестности которой расположен этот элемент, величина энтропии
элемента равна фбо. Тогда, очевидно, изменение энтропии элемента,
происходящее за бесконечно малое время 61, с помощью второго закона можно
связать с потоком теплоты бQ, входящим в элемент за этот интервал
времени, и с температурой Т в рассматриваемой точке, записав
§ (ф 6о) бг > р. (71.2)
Раскрывая левую часть этого выражения, получаем
Подставив сюда затем явные выражения для полных производных по времени
через частные производные, приходим к результату
и* Й]+ и" 0 + Uz Tz + ж) бу 6* +
. ( durt | ди" . ЗиЛ s о, - SQ + ф *5+ф_1Г + ф г бибг>-^. дх' оу dz
J *
Здесь их, иу и иг - компоненты скорости жидкости в рассматриваемой точке.
Объединяя часть членов в последнем выражении, перепишем его в более
простом виде:
3 , \ , 3 , . , д , ч , Зф
^(ф"*) -Ь^(Ф^) +Тг(^~дГ
л о
буб i'^f, (71.3)
или, выражая их, иу, их и 6у через координаты х, у, г и t, приходим к
следующему результату:
SQ
^ ___ I -4 I ГП - 1 -4- I ГП I -1-4 ПУ ПИ П7 ПГ
^
Щ + &(*S) + !(*§) + ?]".*•*">? (7,.4)
Для того чтобы переписать это выражение ковариантным образом, обратимся
теперь к фундаментальному понятию четырехмерного пространственно-
временного континуума, который
§ 71. ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЙ ПОДХОД В ТЕРМОДИНАМИКЕ 171
характеризуется интервалом (20.1):
ds2 = - (dx1 )¦2- (dx2)2- (dx3)2+ (dx4)2, (71.5)
записанным в пространственно-временных координатах
