Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
одноатомные газы с некоторыми парциальными давлениями и с определенной
температурой смеси. Тогда термодинамический потенциал одного моля
водорода (или гелия), находящегося в этой смеси, можно считать равным
действительному термодинамическому потенциалу одного моля указанного
газа, находящегося в чистом состоянии при данной температуре и при данном
давлении. Величина же термодинамического потенциала для газа,
находящегося в чистом состоянии, может быть вычислена через его энергию
Е, давление р, объем v и температуру Т в соответствии с определением
(58.3):
<& = E-\-pv-TS.
Тогда условие равновесия (66.3) можно представить в следующем виде:
(E2-\-p2v-TS2)-4 (?" 1 -/71 и-TS |) =0. (66.4)
Здесь индексы 1 и 2, как и прежде, означают водород и гелий; Ei и Е2 - их
энергии, a Si и S2 - энтропии на моль чистого водорода или гелия при
температуре Т и давлениях р\ и р2 соответственно, причем последние
являются парциальными давлениями в равновесной смеси.
В данном случае из релятивистского соотношения между массой и энергией
следует, что разность энергий, заключенных в одном моле гелия и четырех
молях водорода, подсчитанных по формуле (64.5), равна
Ег - 4Ех = (М8 - 4Мх) с'2 - RT, (66.5)
где Мj и М2 - молекулярные веса водорода и гелия. Из формулы (66.5)
вытекает, что возможности энерговыделения определяются различием
внутренних кинетических энергий рассматриваемых молекул. Далее, с помощью
газовых законов найдем произведение давления на объем:
p2v-4 p\V =-3 RT. (66.6)
И наконец, используя уравнение Сакура - Тетроде в виде
(64.13), получаем выражение для энтропии:
- TS2 + 4TS1 = - RT In T - RT In ^ RT In ^ -j- 3TS'0.
(66.7)
154
ГЛ. V. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ И ТЕРМОДИНАМИКА
Подставляя найденные выражения в условие равновесия
(66.4) и преобразуя его, находим равновесную постоянную реакции:
с, _ | |п т + 3 ? (66 8)
где р\ и р2 - равновесные давления водорода и гелия.
Чтобы с помощью этого уравнения получить численные результаты, подставим
в него молекулярные веса одноатомного водорода и гелия: 1,0078 и 4,002 г.
Значения других величин возьмем из статьи [44]: скорость света с =
2,99796-1010 см/сек, газовую постоянную R = 8,3 1 360-107 эрг/град ¦ моль
или 1,98643 кал!град-моль, а постоянную 50 положим равной 5о =-2,29852
кал/град-моль, откуда вытекает, что равновесные давления pi и р2
оказываются выраженными в атмосферах. Подставляя эти значения и переходя
к десятичным логарифмам, получаем с точностью, достаточной для наших
целей, соотношение
In В- = - 7,5 In Т + 5,648- (66.9)
Р? т
Пли, введя полное давлен-ие смеси
Р - Р\-\~Р2 (66.10)
и учитывая с помощью параметра а примесь гелия, диссоциирующего на
водород в условиях равновесия, перепишем предыдущее уравнение в виде*)
, 256р3аР 1,371-10и , гр соло
ln(I-"a)(iT3^ = -~- + 7'51п т ~ 5'648- <6ьЛ 1'
§ 67. Равновесие между веществом и излучением
В качестве второго термодинамического применения релятивистского
соотношения между массой и энергией рассмотрим другой возможный процесс -
переход вещества в излучение. Этот процесс, называемый часто аннигиляцией
материи, может происходить в результате объединения отрицательного
электрона и протона или отрицательного и положительного электронов.
*) Заключительную часть параграфа мы опускаем. Изложенный в ной материал
о распределении элементов во Вселенной совсем потерял смысл. Кроме того,
он не имеет прямого отношения к содержанию книги. Изложение современного
состояния вопроса читатель может найти в [46] и [49] (численные значения
констант мы оставили старыми). (Прим. ред.)
§ 67. РАВНОВЕСИЕ МЕЖДУ ВЕЩЕСТВОМ И ИЗЛУЧЕНИЕМ
155
когда заряды частиц взаимно нейтрализуются и полная масса частиц
переходит в энергию электромагнитного излучения. Естественно, что в
настоящий момент никаких прямых данных о существовании этих процессов
нет, хотя по крайней мере при столкновении отрицательных и положительных
электронов их существование в высшей степени вероятно*).
Найдем условие термодинамического равновесия между веществом и
излучением. Такое исследование-впервые было проведено Штерном [47], а
позднее, с несколько другой точки зрения, было выполнено автором этой
книги [48].
В этой задаче наиболее удобно применить критерий равновесия в виде
(59.2):
(8S)?>d = 0, (67.1)
по которому энтропия системы, поддерживаемой при постоянных энергии
и объеме, должна иметь максимальное значение.
При выводе мы будем считать, что вещество представляет собой одноатомный
идеальный газ, и предположим, что и вещество и излучение достаточно
разрежены, так что можно пренебречь взаимодействием и подсчитывать полную
энергию и энтропию системы как сумму обычных выражений для отдельных
компонент.
Полную энергию системы из N молекул с массой т запишем согласно
уравнениям (64.5) и (65.4) следующим образом:
Е = Nmc2 + ~ N Т -f avT\ (67.2)
где v - объем, а Т - температура системы. В первом члене
здесь учтена внутренняя энергия, связанная с массой
молекул,
