Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
{R, а} = Г?, = -• (73.14)
LpoJdJ*b л.
2 ё ^ dxv дх* дх'
Квадратными скобками будем обозначать символы Кристоффеля второго рода:
Г.... _,_Т, 1 (д8"о , dSvo />то1гч
aJ = Г^° _ - -^Г) • (73.151
Заметим, что ни та, ни другая величина не является тензором. Из (73.13)
сразу видно, что в случае "плоского" пространства - времени специальной
теории относительности уравнения геодезических линий принимают простой
вид (73.11), поскольку компоненты метрического тензора, соответствующие
координатам .V, у, z, t, постоянны, и следовательно, символы Кристоффеля
равны нулю.
Далее, уравнения световых лучей будут теми же самыми, что и в случае
частиц, но с дополнительным ограничением:
ds = 0, (73.16)
которое уже обсуждалось в § 21. Оно отражает постоянство скорости света в
свободном пространстве.
Найденные нами ковариантные выражения для интервала и уравнений движения
частиц и световых лучей - типичные примеры ковариантной формулировки
законов специальной теории относительности, в результате которой
возникает возможность использовать любые удобные криволинейные координаты
х1, х2, х3, х4 вместо обычных прямоугольных координат х, у, z, t. Ниже (в
§ 74, д) мы выясним с помощью принципа эквивалентности, в какой мере
справедливо применение этих ковариантных выражений не только в случае
"плоского" пространства - времени специальной теории относительности, но
также и в случае "кривого" пространства - времени, которое удается
связать с существованием постоянных гравитационных полей.
*) В переводе мы заменили обозначения автора для символов Кристоффеля в
виде скобок на более привычные: Г^, и T[1V а. Заметим, что .через Г
обычно обозначают коэффициенты, определяющие параллельный перенос,-
коэффициенты аффинной связности. Эти коэффициенты вводятся в аффинной
геометрии и, вообще говоря, для своего определения не требуют знания
метрического тензора guv. Выражение Г через g справедливо в метрической
геометрии, которая здесь и используется. (Прим. ред.)
182
.1. VI. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§ 74. Принцип эквивалентности
Мы можем теперь перейти к рассмотрению принципа эквивалентности, который
является вторым основным постулатом общей теории относительности и с
необходимостью приводит к введению гравитационных полей и "кривого"
пространства - времени. Сначала обсудим, как нам сформулировать этот
принцип, ибо сделать это несколько сложнее, чем в случае принципа
ковариантности.
а) Формулировка принципа эквивалентности. Метрика и гравитация.
Принцип эквивалентности отражает существенную аналогию между
результатами, которые получает наблюдатель, производящий измерения в
гравитационном поле и использующий при этом равномерно движущуюся систему
отсчета, и результатами другого наблюдателя, который производит измерения
в отсутствие гравитационного поля, но находится в системе отсчета,
движущейся ускоренно. Качественно сразу ясно, что какой-то элемент
соответствия между такого рода измерениями должен существовать, так как
оба наблюдателя будут обнаруживать ускорение всех своих частиц
относительно своих систем отсчета.
Чтобы точно сформулировать принцип эквивалентности, сопоставим
гипотетический предельный случай, когда наблюдатель движется без
ускорения в однородном гравитационном поле, со случаем наблюдателя,
движущегося равноускоренно в области свободного пространства, где
гравитационными полями можно пренебречь. В такой постановке принцип
эквивалентности соответствует утверждению, что результаты, полученные
двумя наблюдателями, которые выполняют некоторые физические эксперименты,
должны быть идентичными (конечно, при том условии, что ускорение
наблюдателя, находящегося в свободном пространстве, относительно
неускоренной системы координат, допускаемое специальной теорией
относительности, равно по величине и противоположно по направлению
гравитационному ускорению, которое обнаруживает другой наблюдатель).
Можно дать другое выражение принципа эквивалентности, которое часто
оказывается более удобным для использования. Постулируя полную
эквивалентность двух указанных наблюдателей, мы будем утверждать, что эта
эквивалентность должна сохраняться, когда мы аналогичным образом изменяем
их состояния движения. Так, например, если наблюдателю, находящемуся в
гравитационном поле, предоставить свободно падать с естественным
ускорением, характерным для этого поля, а ускорение, придаваемое
наблюдателю в свободном пространстве, свести к нулю, они должны опять-
таки получить идентичные результаты в любом заданном эксперименте,
который каждый из них в со-
§ 74. ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
183
стоянии выполнить. Другими словами, для наблюдателя, свободно падающего в
однородном гравитационном поле, эффекты гравитации должны исчезнуть.
Следовательно, принцип эквивалентности можно еще сформулировать так: в
случае однородного гравитационного поля всегда можно перейти к таким
пространственно-временным координатам, что эффекты гравитации не будут
