Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
Е^-Е^Е--^-*-)'1^
т-1 v =i m=i
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, найдем
последовательность векторных дифференциальных уравнений (полную систему
уравнений в вариациях по параметру Пуанкаре)
= (JL\ V 4- (-2L\
dft \ дх )о 1 V 9е /о '
dx2 / 3f \ . 1 / дЧ \ | / дЧ \ .
1 / дЧ \
ad )оХа + 2 ( ах* )0 XlXl + [ дхде, )0 + 2 [ Зе* )0
'
dx3 / at \ . 1 / дЧ \ . . . , / дЧ \
Ж = [ж)0 Хэ + - [ж)о ^ + X2Xl) + (дш)о Х2 +
. 1 / a3f \ . 1 / эч \ 1 / эч \
+ ~ёГ _ xixixi + "о" 'я^аяо' *1*1 + ~Т~ я-я°г L Х1 +
6 \дх3 j0xixixi-+- 2 Jo 1 1 ^ 2 I 3xae*J0'
' 1 (d3i\
^ 6 V Эе3 Уо '
ai4-ct2=тп
+-т(5)о L х"'х^+4-(-ж)0 Z xa'xa2+
<х1-\-я2-\-<Хз=,т а m-i
4Ш--.+-4(5). Е
сч-Ь... 4-а5=7п ' ai+... +as_1=m-1
¦¦;+тг^пг(-Дг- )" Е
ai+...+as_(=m-I
+
(s
i / asf \ , , i /amf\
- 1)1 \ ахае5-1 j/"1 + • • • + m! [ дх(tm) )0
(т
! 1 /¦ а f ^ vm-i _i_ j 1_/ а f \ vm-( |
+ - 1)! V 3xm_13e jo*1 (т-\ахт-'ае'/0Xl
1 / a"'f \ , 1 / amf \
(т-1)! \ ахае"1"1/о Х т! \ Зет )0
Здесь индекс нуль означает, что значения частных производных вычислены
при х0 = х0 (#) и е = 0; а1г а2, . . . суть натуральные
84
ВИДОИЗМЕНЕННЫЕ СИСТЕМЫ ЛЯПУНОВА
[ГЛ. IV
числа; матрица
*-№!:¦ -СО' -(О-
Последующие члены в уравнениях (2.4) также нужно трактовать в операторном
смысле, так, например,
'[(#Н
дЧ
"№XlXa = 1'~дt Х2>
Поэтому мы различали, например, члены с хгха и хахг из-за неком-
мутативности, вообще говоря, оператора.
Если е входит в (2.1) линейно, т. е.
f (О, х; е) = g (О, х) + eh (О, х), то уравнения (2.4) примут вид
4? = (4l)oXl + h^'Xo)'
(2.5)
7 171
dxnr (dg \ V
[дх Jo rn + 2jL v! \ dx* Jo 2j x""- ••¦x*,+
v=a a1+...+av=m
+
(V -1)! ^.........
a1+...+av_1=rn-1
Уравнения (2.4) и (2.5) интегрируются последовательно непосредственно
только в скалярном случае.
Однако если известен общий интеграл невозмущенной (т. е. при е = 0)
системы (2.1), то интегрирование системы уравнений
(2.4) (и (2.5)) любого порядка, как это показал Пуанкаре, сводится к
квадратурам. Действительно, пусть
х0 = х0 (¦"; а),
где а -и-мерный вектор, есть общий интеграл уравнения (2.1) при е = 0, т.
е.
dX°ffia) = f(0. х0(0; а); 0).
Дифференцируя это тождество по а, получаем d (~дл ) ( di\ дхо
d$ \ дх /о дя
Отсюда следует, что дх0/даестъ фундаментальная матрица каждой из
однородных систем дифференциальных уравнений (2.4) (или
СИСТЕМЫ ЛЯПУНОВА С ДЕМПФИРОВАНИЕМ
85
(2:5)). Тогда решение первой из систем (2.4) (и аналогично (2.5)) с
нулевыми начальными условиями х1(,&0) = 0 (ибо а) =
= х(°>, xv (¦&(,) = 0, v = 1,2, . . .) запишется по методу Лагранжа
вариации постоянных в виде
где -5х0/да -неособая матрица в силу того, что решение х0 = = х0 (¦&; а)
- общее. Для xm (т 1) получатся формулы, аналогичные (2.6), с заменой под
знаком интеграла (df/de)0 на неоднородную часть соответствующей системы
(2.4) или (2.5).
Для отыскания решения исходной системы (1.1) требуется еще
проинтегрировать первое уравнение (1.5) с той же точностью, т. е. до О
(г2), если речь идет о первой поправке.
1.3. О колебаниях механической системы с одной степенью свободы при
наличии нелинейностей разного вида. Рассматривается механическая система
с одной степенью свободы, подверженная действию восстанавливающей силы и
силы сопротивления. Обе эти функции предполагаются аналитическими
функциями соответственно координаты и скорости. Подчеркнем, что лишь одна
из сил-именно сила сопротивления - предполагается "е-малой" и граница для
е 0 определяется мажорантным неравенством теоремы Пуанкаре ([107а], т. I,
гл. II), вообще говоря, неэффективным. Что касается восстанавливающей
силы, то ее нелинейная часть определяет верхнюю границу параметра ц -
корня квадратного из начального значения приведенной энергии. Таким
образом, предлагаемое в конце п. 1.3 общее решение справедливо для
достаточно малых е 0 и для эффективно ограниченных значений начальной
энергии системы.
Уравнение движения рассматриваемой системы при подходящем выборе масштаба
времени т может быть записано в виде
й + 2tF(u) + и - U (и) =0 (е>0, , (3.1)
где F (й) и U (и) - аналитические функции во всей области изменения
переменных, разложения которых начинаются соответственно с членов не ниже
первой и второй степени, кроме того, работа силы сопротивления
предполагается отрицательной на любом перемещении: -F (й) й ¦< 0, что, в
частности, выполнено для нечетной функции F (й). При е = 0 невозмущенное
уравнение (3.1) допускает интеграл энергии
(2.6)
86 ВИДОИЗМЕНЕННЫЕ СИСТЕМЫ ЛЯПУНОВА [ГЛ. IV
Подстановка Ляпунова (1.4) преобразует уравнение (3.1) в систему (1.5)
вида
= 1-----[U (р sin ¦&) - 2eF (р cos ¦&)] sin ¦&,
(3.3)
- U (р sin й) cos ¦& - 2zF (p cos ¦&) cos ¦&.
Предположим для дальнейшего, что для всех е и р в прямоугольнике и
О^р^Гц при любом ¦& выполнено неравен-
ство
1 - [U (р sin ¦&) - 2zF (р cos ¦&)] sin ¦& ]> 0. (3.4)
Р
Неравенство (3.4) вместе с первыми двумя формулами (1.4) определяет
допустимую область изменения и, й. При условии (3.4) разделим второе
