Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
§ 10.07. Другое доказательство
215
§ 10.06. Частный случай контактного преобразования
Рассмотрим важный для дальнейшего специальный случай, когда преобразуется
только одна пара канонических переменных, например qv pv в Pv Пусть
4i = 4\(Qv Рр 0> Р\ — P\(Qi> Р\> 0 (1)
и
qr = Qr. Pt — Pf (r — 2,3..............k).
Согласно предыдущему параграфу, условия контактного преобразования
записываются в виде
ft
^(?1. Pi) I V д(.Чг> Рг) . . 1 /п\
<?((?„/>,) -1 w
т-1
IQ/. = [/>,. ^1 = 0. (3)
Так как qr и рт (г > 1) не зависят от Q, и Яр то условия (3)
автоматически удовлетворяются, и, кроме того, каждый член в сумме (2)
равен нулю. Поэтому требуемое условие примет вид
d (gi. Pi) _, ,,
d(Qi. Pi) ~
§ 10.07. Другое доказательство
Мы дадим другое доказательство результатов § 10.06, основанное на простых
принципах, и, кроме того, установим общую форму новой функции Гамильтона
относительно и Ру
Так как ql и pv — сопряженные переменные, то имеем • _ дН(Ч, р, i) •
__ дН
Ях~ 7рх ’ P'-~Wi'
Решая уравнения (1) § 10.06, получаем
= Ру /), Pi — Рi(qy Ру /). (1)
Поэтому, опуская для простоты индекс, находим
л dQ_ • , dQ_ • . dQ _dQ дН dQ дН , dQ
^ dq Я' dp P ' dt dq dp dp ’ dq ' dt *
При помощи формул (1) § 10.06 H можно выразить через Q, Р, t, и мы будем
иметь
дН _ дН dQ , дН дР др 6Q ’ др дР ‘ др *
216
Глава 10. Контактные преобразования
Следовательно,
Л_дН d(Q,P) , 0Q w~ дР ' d(q, р) "г ot '
Аналогично
р дН d(Q, Р) , дР
dQ ’ д (q, р) “Г dt ’
Из этих равенств, восстанавливая индекс, мы найдем
а дН’ Л дН'
Vi — Цр->
дРГ г1~ dQi • если
д«?„ Л) !
^(?i, Pi)
(2)
и Н' — такая функция, что
Н' = Н + Ь (3)
где
ду <?Q| д<? дР 1
dPt dt dQx dt
(4)
Из условия (2) следует, что скобка Пуассона {<?,, Я,) равна единице, так
как все члены в выражении д {Qj, P\)ld{qr, рг), для которых г> 1, равны
нулю. На основании известной теоремы имеем
{<3р = [Qi, Р\]5
поэтому равенство (2) эквивалентно соотношению
д (?i. Pi) _ 1 d(Qi,Pi)
совпадающему с равенством (4) § 10.06.
Согласно уравнениям (4), функция <р (Q, Р, f) дается формулой
» +
Далее,
dQl = litd4l + ^dPv
Выражение для dPx имеет аналогичный вид. Поэтому когда <р выражено через
qv pv t, то мы имеем
__ rd{QuPx)d„ Г д«?„ /*,)
<Р~ J д(qu t) *9* -J-d(p„t) ЧР* <6>
§ 10.08. Обобщенное точечно-линейное преобразование
217
Итак, новая функция Гамильтона определяется равенствами (3) и (6). Новые
канонические уравнения тогда будут иметь вид
o-^L р_________________
“ dPt ’ *1 “ <?(?, ’
где предполагается, что Н' выражена через Qj и Pv
Так как ср в формуле (6) не зависит, от Qr, Рг (г = 2, 3, ...), то
остальные канонические уравнения могут быть записаны в виде
Л дН' р д№_
Чг ~ дРг ’ ' — dQr -
Примечание. Если преобразование переменных q и р в переменные Q и Р не
содержит явно времени, то обе производные dQx/dt и dPxjdt равны нулю.
Поэтому ср = 0 и новые канонические уравнения запишутся в виде
О Ш р - дн /8ч
Qf — дрг > ИГ — dQr • (б)
причем функция Гамильтона остается прежней.
§ 10.08. Обобщенное точечно-линейное преобразование
Мы будем исходить из канонических уравнений
- _ ОН • _ ОН
Р1~~~дГ1'
Если преобразование к новым каноническим переменным Q и Р такое, что Qr,
например, есть функция только q, а Рг — функция только р, то
преобразование называется обобщенным точечным преоб разованием.
Пусть
Qr — Qr (Я)> Рт = РЛР)>
Если Qr(q) — линейная функция q, а Рг(р) — линейная функция р, то такое
преобразование называется обобщенным точечно-линейным преоб разованием.
Его мы сейчас и рассмотрим.
Запишем линейное преобразование в виде
П
Qr — АпЧ\ + АлЧг + • • • + АтЧп — 2 Ars4s' (О
5=1
р, = “r\P\ + апР1 + • • • + а,пРп = 2 artpt. (2)
5
где г = 1, 2 п, А и а—постоянные величины.
Глава 10. Контактные преобразования
Для контактного преобразования мы имеем условие UP'dqrSPrdQ^dF.
Г Г
Это условие будет справедливым и при F = 0. В этом случае
= (3)
последнее равенство прн помощи формул (1) и (2), если заменить в нем ^ на
/, принимает вид
2 Рг(1<1Г — 2 2 arsP* 2 \t dq, = Q. (4)
г г s t
Тройную сумму в левой части можно записать в виде
П П
2 2 ^rsArsPs^4s~^~ 2 2 2 “rsArtPs dq,,
r=l s=l r s I
где / Ф s. Если вместо 2 P, dqr написать 2 Ps dqs, то формула (4)
r s
примет вид
2 Pi dqs —2 Ps dqs 2 a„A„ ~ 2 2 P, dq, 2 агЛ, = 0.
j? a r * t r
где г и 5 могут принимать все значения от 1 до я и t ф s. Последнее
уравнение удовлетворится, если
2 arsArs = 1 (5)
Г= 1
И
2 arsArt= 0 Цфз). (6)
г—1
Это и есть условия контактного преобразования, и так как F — 0, то новые
канонические уравнения имеют вид
О-М_ р________________JiL m
^r~ дРг * И'~ dQr'
Если, например, величины а заданы, то уравнения (5) и (6) дают
возможность определить соответствующие значения А, так как имеется я
уравнений (5) и я (я— 1) уравнений (6), т. е. всего я2 уравнений, то из
них могут быть найдены я2 величин А. Легко заметить, что если положить в
уравнениях (5) s = 1 ивя — 1 урав-
§ 10.09. Ортогональные преобразования
