Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
уравнений (3), в которых функция Н заменена функцией Н0. Решение для q,
тогда будет выражаться формулами qi=qt(t, а, Р), где а и р — канонические
постоянные. Функции р, определятся аналогичными формулами. Канонические
постоянные, таким образом, появляются при решении уравнений
невозмущенного движения и, очевидно, в общем случае представляют функции
шести элементов орбиты.
Сравнение равенства (4) с равенством (3) § 8.15 показывает, что если аир
рассматривать теперь как переменные, то соответствующие канонические
уравнения, аналогичные уравнениям (16) § 8.15, имеют вид
Этот процесс может быть распространен и дальше. Так, если мы положим R =
R0 — /?, и решим уравнения (5), приняв /?„ в качестве функции Гамильтона,
то получатся новые канонические постоянные a,, bt, и тогда они,
рассматриваемые как новые переменные, будут удовлетворять каноническим
уравнениям
Описанный метод был развит Делонэ в его теории Луны, причем указанный им
процесс может быть продолжен до тех пор, пока все члены возмущающей
функции не будут исчерпаны.
§ 8.17. Соотношения Якобн
Мы предположим, без ограничения общности, что. как и в § 8.15, <xt и ф/
представляют k пар канонических постоянных, появляющихся при решении
уравнений
Как мы видели решение тогда дается в виде
<7, = <7Д*. а, Р), = а, р).
О)
190
Глава 8. Канонические уравнения
Эти уравнения могут быть в принципе решены относительно величины а и р. В
результате i и р будут выражены через q, р, t в виде
<*, = <*,•(?• Р> *)• Pr = Prfa- Р’ *)- (2)
Якоби получил четыре замечательных соотношения между производными дар
(выраженными через а и Р) по а и р и производными аир (выраженными через
q и р) по q и р.
Мы предположим, как и в § 8.15, что первоначальная функция представлена в
виде Н0— Hv где Н0 и Нх — функции q, р, t.
Если аир рассматриваются как новые переменные, то мы получаем уравнения
(8) и (9) § 8.15. Они имеют вид
2(-яН'+ж1*')=-ж' <3>
(4>
Г
Далее из уравнений (16) § 8.15 следует, что величины аир удовлетворяют
каноническим уравнениям
* — в _. т -
а'~ д$, • да, • W
в которых Я, = Hi (t, а, Р).
Пусть bq{ и Ър{ суть независимые вариации qt и р( (1 = 1, 2.....k). Тогда
вариация 8Я,, если Я, = Я, (q, p. t), будет вы-
ражаться формулой
или, согласно формулам (3) и (4),
w.-ЕЕ8* (4g-*'+?&*')-
(6)
/ Г
Согласно соотношениям (2), вариации 8аг, 8рг выражаются формулами
*“'=Е(ж!,‘+Ш*Р1) (7)
Ъ"= 2 (Ir1+%;Ьр‘У (8)
§ 8.17. Соотношения Якоби
19)
Кроме того, если Нх — Hx(t, а, (3), то, согласно формулам (5), имеем
-2 +ж 8Р') - 2 <“А - №»,>•
Г Г
Поэтому при помощи формул (7) и (8) получаем
**,=2 2 ^ -fe ^)+22 Ч & ь ] •«»
1т it
Правые части формул (6) и (9) должны быть тождественно равны друг другу;
и так как bqt и bpt — независимые вариации, то коэффициенты при bqt в
формулах (6) и (9) должны быть равны. Аналогично коэффициенты при Ърх
также должны быть равными. Мы тогда будем иметь следующие соотношения:
г г
Теперь соотношения (10) и (11) можно рассматривать как k уравнений для а
и ? уравнений для р. Так как эти величины независимы, то коэффициенты при
а, и $г как в (10), так и в (11) должны быть равны нулю. Следовательно,
6 Pi _ *»?_. /1Пч
ддГ Ж~ dq,'
dqi . dqi _ da, ....
dpi' d$, dpi ’
Эти соотношения, полученные Якоби, связывают пары сопряженных переменных
q и р и пары сопряженных постоянных а и р.
Из формул (12) и (13) мы тотчас же получаем
d{qi. Pt) _ d(a„ р,) ...
d (а„ Р,) d (qt. Pi)' к
Глава 9
КАНОНИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
§ 9.01. Определение функции S
В этой главе мы решим уравнения невозмущенного движения планеты методом
Гамильтона — Якоби. Это, во-первых, даст возможность проиллюстрировать в
деталях сам метод и, во-вторых, получить важные соотношения между
элементами орбиты и каноническими
постоянными, которые появляются в ходе решения задачи. Сначала мы получим
функцию S, удовлетворяющую уравнению Гамильтона — Якоби в частных
производных.
Пусть х, у, z — прямоугольные координаты планеты Р с массой /п
относительно эклиптической системы координат с начале О в центре Солнца,
причем массу Солнца обозначим через т0. Пусть на рис. 21 г — радиус-
вектор ОР, X— эклиптическая долгота fR и 0 — соответствующая широта RQ.
Тогда
В качестве обобщенных координат qv q2 и q3 возьмем соответст венно г, X и
6.
Уравнения движения в прямоугольных координатах имеют вид
К
Рис. 21.
х = г cosXcos0, у = rsinXcos0. z = r sin 0. (1)
0Uо дх
§ 9.01. Определение функции S
193
плюс два аналогичных уравнения для у и г. Здесь ;а = О (т. + т0) и в
обозначениях § 8.16 ?/0 = [а/г. Кроме того, в этих же обозначениях Т =
72(*2-j-y2+ z2), или после преобразования по формулам (1)
7’ = ^(r2 + r2cos20*X2 + r202). (2)
Это выражение для Т является однородной квадратичной функцией величины q.
Поэтому Т2 = Т и Т0 = 0.
Как и в общей теории, рх, р2 и ръ определяются следующим образом:
ОТ ОТ дТ
Р 1_дГ Р2~Ж' Рз~~д?'
Следовательно,
Pi = r, j92 = r2cos29 • X, j»3 = r20.
