Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
равны нулю, так как каждое алгебраическое дополнение равно определителю
пятого порядка, в первом столбце которого стоят элементы, все равные
нулю. Поэтому
Р5 j = Р41 = Р3, = Р21 = Рп = 0,
причем Ри равно нулю по определению.
Легко заметить, что к алгебраическим дополнениям, не равным нулю,
относятся L62, L& и L6.. Например, алгебраическое дополнение L62
представляет следующий определитель:
кг —
кх
о
о
о
о
41
Д43
о
о
о
о
о
Д34
о
о
о
о
^24
Д25
о
14
'15
^18
206
Глава 9. Канонические постоянные движения
Поэтому
D — 81
*62 — 7 7
и, следовательно,
п _ ctg у (1 —cosy)
•
Аналогично
мв = — ^>16^25^34 (LiiLsi — LviLsx),
откуда
Язв = = 8еСЦ^п7— •
Таким же образом находим, что Рэе — Рэ$'
Результаты, полученные в этом параграфе, находятся в согласии с формулами
(6) § 9.07.
Глава 10
КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 10.01. Критерий каноничности
Как и в § 8.09, мы будем считать, что решение канонических уравнений
• _ <*#(?, р, t) • _ dH{q, р, t) ...
дй ’ pi------------дй,
выражено через t и 2k постоянных cv с2 c2k формулами вида
q, = q,(c, /), р, = р, (с, t). (2j
Пусть X определяется формулой
*-4 Е Pi % - -щ 2(3)
i=i <=1
Тогда, принимая во внимание равенство (4) § 8.09, получаем
*=-4г (4)
Докажем важную теорему, которая заключается в следующем.
Если q, и р, (/=1, 2 А)— такие независимые функции
от t и 2А постоянных ^*1* ^*2* • • * > ^*2ft*
что для любого Cj выполняется
равенство
V d V д V ___ ^ /еч
<й 2^* де. де. 2dPiqi~ де. ’ ^
/=1 1 1 i=i 1
где Н первоначально — функция q, р, t, а затем преобразовывается
посредством формул (2) в функцию от t и 2А величин с, то
q и р
являются каноническими сопряженными переменными, удовлетворяю щими
каноническим уравнениям
• _ дН • дН
4l--df,' Pl---------ST,'
Так как Н(с, t)^H(q, р, t), то мы имеем
дН__у(дН dq дН др{\
dCj ~f*\ dqt ' dcj др^~д^)' W
208
Глава 10. Контактные преобразования
Левая часть равенства (5) может быть записана следующим образом: V/- де>1
• dPt\
h[p4Zr~qi~fcJr
i=i
Поэтому при помощи формулы (6) мы можем представить равенство (5) в виде
l=i
где
_ дН • _ дН , •
У1=Щ+Р1‘
Всего имеется 2k уравнений такого типа, соответствующих 2k значениям Cj
(J=\, 2.........2k), в которых k величин х. a k вели-
чин у рассматриваются как неизвестные. Так как q и р — независимые
функции величин с, то
д(/у /у Рц> Чу Чу Чч) ,
д (С|, С2, ..Cjft)
Следовательно,
*1 = *2= ••• =хк = У\ = Уг =Ук = °-
Поэтому
• _ _ 0H(q, p,t) • _ дН (q, р, I)
4i— Щ Pi— Щ • (8)
Теорема, таким образом, доказана. Она будет использована в
качестве критерия каноничности в методе, связанном с
контактными
преобразованиями, которые мы будем рассматривать в последующих
параграфах.
§ 10.02. Контактные преобразования
Мы будем исходить из канонических уравнений (8) предыдущего параграфа.
Предположим, что мы перешли от переменных q и р к новым переменным Q и Р
посредством уравнений вида
qi = qi(Q> Р> t)> (1)
Pi = Pi(Q.P.t), (2)
в которых содержится k переменных Q и k переменных Р.
Если замена переменных такова, что и Pt являются сопряженно каноническими
по отношению к некоторой функции Гамильтона H'(Q, Р, t), то такое
преобразование переменных называется нонтак~ тным преобразованием.
§ 10.02. Контактные преобразования
209
Из двух групп уравнений (1) и (2) мы можем в принципе выразить каждое из
переменных Q и Р через q и р в виде
Qi = Qi(q. Р> t), Pl=Pl{q, р, t). (3)
Решение уравнений (8) § 10.01 имеет вид
4i — 4i (с* 0> Pi = Pi(c,t), (4)
причем число постоянных интегрирования с равно 2k. Следовательно,
согласно формулам (3), переменные Q и Р могут быть выражены через 2k
постоянных по формулам
Qi = Qi(c, f), P^Piic, t). (5)
Рассмотрим теперь группу уравнений (1). Они могут быть в принципе
разрешены относительно Pt так, чтобы PL — Pt (q, Q, t). Предположим
теперь, что существует такая функция F(q, Q, t),
что
ana
S Pi dqi - 2 PidQi = 2 dqi + dQt) = dF. (6)
i=i /=i 1 1 '
причем dF есть полный дифференциал по отношению к переменным q и Q. Тогда
dF(q.Q,t) dF (q, Q, t)
Pi ^щ—• ('>
Воспользуемся теперь критерием каноничности, который был получен в
предыдущем параграфе. Пусть
r=itp‘%r--sc;tp&-
l = \ J J 1=1
Тогда, используя равенство (3) § 10.01, мы запишем
откуда, принимая во внимание формулы (7), находим
X-Y- — У(— ^L<dF
dt Zl\dql dCj "т- dQ( ' dCj /
14 V. Смарт
210
Глава 10. Контактные преобразования
Далее, функция F(q, Q, t) посредством первой группы фэрмул (4) й первой
группы формул (5) может быть преобразована в функцию F(c, t). Мы тогда
будем иметь дГ (с, t) дГ.
?< 0 у / dF dc>i | dF dQt \
j — 2и\дЧ1‘ dCj^-dQt' dCj)
df (c, t) _ OF (q, Q, t) , V / dF : , dF л\ dt “ dt
(9)
Поэтому формула (8) примет вид
v d [ dF(c,t)-\ d [dF(c, t) dF (q, Q, <) 1_
dcj J «?сД dt dt j-
_ d Г dF (q, Q, t) '|
— dc, L dt Г Согласно формулам (3) и (4) § 10.01, имеем
К = —
dcj
Следовательно,
у — _ЁК1
r ~ dcj ’ где
H' = H(q, р, t) + (Ю)
При помощи уравнений (1) и (2) функция Н' может быть представлена в виде
