Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
219
нениях (6) ?=1 и s = 2, 3 л, то Ап, например, будет алгебраическим
дополнением элемента ди, деленным на определитель А:
Вообще
Д =
*21
... а
‘12
*22
л1
*л2
*1л
*2л
(8)
где a'rs — алгебраическое дополнение элемента ars.
Условия (5) и (6) могут быть представлены одной простой и важной
формулой. Так как Qr представляет собой линейное выражение относительно
q, то, очевидно, что условие
совпадает с условием
причем это последнее условие дается формулами (5) и (6). Поэтому для
обобщенного точечно-линейного преобразования достаточное условие
записывается в виде
2 Qrpr— 2 ЧгРг
О)
§ 10.09. Ортогональные преобразования
Если в равенствах (2) § 10.08 ars = Ars, то преобразование называется
ортогональным. Условия (5) и (6) предыдущего параграфа тогда запишутся в
виде
2*4=1 О)
г= 1
2 апа„=о (t + s).
г= 1
(2)
Если п = 3, то величины А будут обладать свойствами, присущими
направляющим косинусам. Так, если мы положим
220
Глава 10. Контактные преобразования
то условия (1) и (2) запишутся в виде равенств
Is ~ttls —(- Us == 1 (5 = 1 > 2, 3)
и
hh + msmt 4- *snt = 0
которые являются хорошо известными формулами, связывающими на* правляющие
косинусы.
§ 10.10. Бесконечно малые преобразования
Пусть
Qi = 4i-\-ex v Pi~ Pi~\~eVi> (О
где е — произвольная бесконечно малая величина, не зависящая от q и р, и
квадратом которой можно пренебречь. Для контактного преобразования мы
должны иметь
2 Pi dq, 2 Pi dQi == dF, i 1
где dF — полный дифференциал. Используя формулы (1), мы получаем
2 Pi dqt — 2 iPi + 6У/) (dqt + e dx,) = dF
или
— e 2 (Vi dqt + Pi dx,) — dF.
Можно считать, что функция F содержит множитель е. Положим F = tW. Тогда
2 (Si dqt + Pi dx,) = —dW, что можно записать в виде
'L{yidqi — xldpi) = — d(W + '2,pix^ = — dK,
где через К (q, р, t) обозначено выражение, заключенное в скобки. Поэтому
дК (q, p.t) _ дК (q, Р, t)
*i Щ • У,----------------------------Щ • (2)
Заменим е на АЛ которое не зависит от q и р. Тогда, принимая
во внимание формулы (1) и (2), получаем наиболее общее бесконечно малое
контактное преобразование в виде
Q = А*. (3)
Pi = Pi-~ (У’----Д*. (4)
где К — произвольная функция,
§ 10.10. Бесконечно малые преобразования
221
Далее, пусть координаты и компоненты импульсов в момент t суть q и р.
Тогда, как показывают уравнения (3) и (4), в момент / —(— bit состояние
системы получится путем бесконечно малого контактного преобразования. Все
движение системы, таким образом, может рассматриваться как
последовательность бесконечно малых преобразований, что в общих чертах
сходно с описанием возмущенного движения планеты при помощи
последовательности бесконечно малых дуг оскулирующей орбиты.
Глава 11
ПЕРЕМЕННЫЕ ДЕЛОНЭ И ПУАНКАРЕ
§ 11.01. Необходимость преобразования канонических переменных
Рассмотрим движение планеты Р, возмущаемое планетой Pv Уравнения движения
имеют вид
Ь“~ЙГ (i = 1’2-3)' 0)
где аир первоначально были каноническими постоянными, появившимися при
решении уравнений невозмущенного движения, а теперь в уравнениях (1)
являются каноническими переменными.
Возмущающая функция R — функция Гамильтона в уравнениях (1) — содержит
как непериодические члены, так и периодические. Сейчас нам необходимо
рассматривать лишь те члены, аргументы которых зависят от средней
аномалии.
Такие члены имеют вид С cos 0. где С = С(ар а2, и 0 = JM + и,
или
О = Jn,{t-\- р,) + и, (2)
причем j — положительное целое число, а и — линейная функция р2, рз, Afj,
(5j и Qj, где три последние величины относятся к планете Pv Далее, в
формуле (2) п есть функция ар так как
я2а3 = р, а — — (3)
Поэтому если рассматривать только члены вида Ccos0, то второе из
уравнений (1) при I = 1 будет иметь вид
*.--$=-2&со»8+<'+м2у?>>°'- <«
Наличие множителя /+Pi вызывает, очевидно, затруднение того же характера,
что и уже встречавшееся при рассмотрении уравнения (6) § 6.03 для
элемента е. Нужно заметить, что уравнение (4) является единственным из
шести уравнений (1), обладающим такой особенностью. Эта трудность
устраняется путем выбора в качестве новой канонической переменной средней
аномалии n(t-\- (3j)
§ tl.02. Переменная, сопряженная средней аномалии 223
(которую Делонэ обозначил через Z1)) и определения соответствующей
сопряженной переменной, обозначаемой через L. Тогда и р, заменятся на L и
I, а все остальные переменные, а2, р2, аз> Рз* останутся неизменными.
§ 11.02. Переменная, сопряженная средней аномалии
Средняя аномалия I дается формулой
причем п выражается через по формуле (3) § 11.01.
Пусть L=zL(av (3lP t) означает переменную, сопряженную /. Тре буется
найти такую форму для L, чтобы было
где R' — новая функция Г амильтона.
Условие того, что L и /— сопряженные переменные, было получено в § 10.06
и § 10.07, причем под qx, р1 мы понимаем ар (Зр а под Qj и Р, — Lx, /,.
Это условие, выражаемое формулой (2) § 10.07, запишется тогда в виде
-тггЧт=1- (3)
d(«i. Pi) '
Функция R' равна /? + ?> гДе ? определяется формулой (6) § 10.07 и в
