Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
будет иметь вид
LX = L, lx = l-\-g-\-h,
Gl — Y—2G's\ng', gt = Y — 20'cos у, (4)
Я1 = Y—W'sin *'• hi = Y —V? cos A',
§ П.07. Переменные Пуанкаре
231
Так как эти формулы преобразования не зависят явно от времени, то функция
Гамильтона, выраженная в новых переменных, остается неизменной.
Для удобства мы примем следующие обозначения:
для первой пары: X для /р тогда Х = /-|-й, так что X — средняя
долгота; ______
для второй пары: ; для О, и tj для gv р для Y—20' и заменим g'
на й; тогда ; = psinfi, 7j = pcosw; _
для третьей пары: и для Нх и v для Ар о для Y— 2#' и заме-
ним Ы на 2; тогда M = osin2, i> = ocos2.
Таким образом, полная система переменных Пуанкаре будет такова:
L = YX = I 4-0),
? = psinfi, 7j=pcosw, (5)
и = о sin 2, v — о cos 2,
В предыдущем параграфе мы видели, что G' имеет порядок е2 и Я' —порядок
Y- Таким образом, р имеет порядок е и о — порядок Следовательно, величины
? и tj будут порядка е, а и и v—порядка Пуанкаре назвал ? и т,
эксцентрическими переменными, а и и v — облическими переменными.
Нужно заметить, что из новых переменных только X, означающая среднюю
долготу, является угловой переменной. В § 5.10, п. (3) мы ввели элементы
А и A: A=esin*, А —г cos й. Эти элементы очень похожи на ; и tj, так как
р имеет порядок е.
Мы также ввели некоторые функции от / и 2 по формулам
р = sin/sin 2, q = sin /cos 2, или, пренебрегая f3,
p = j sin 2, q = l cos 2.
Видно, что они близки к и и v в формулах (5), так как а
имеет
порядок 7.
Если возмущающую функцию разложить в ряд по переменным Пуанкаре, то она
примет вид1)
R = J Ue v>u*v\ cs°ns (/X + УЛ), (6)
где А — функция L, ?, (индекс 1 относится к возмущающей пла-
нете), а
а, Ь, с, d, е, /, g. A, J, у,
‘) Pol пса г 6, Methods Nouvelles de la Mfecanique Celeste, I, 1892, p.
32.
232
Глава 11. Переменные Делонэ и Пуанкаре
— положительные целые числа (за исключением У,, которое может быть
отрицательным), одно или более из которых может быть нулем.
В формуле (6) косинус следует писать в том случае, когда
а-\-с-\-е-\- g = 2s, где s — положительное целое число, а синус — когда
a-\-c-\-e + g = 2s + 1.
Если мы предположим, ради простоты, что е, ev 7 и 7,—вели* чины одного и
того же порядка, то порядок величины О каждого члена в выражении (6)
будет равен a-\-b-\-c-\-d-\-e-\- f g-\-h и связан с числами У и У,,
входящими в аргумент, формулой
0 = |У+У,|+2г,
где г, — вообще говоря, положительное целое число и может быть равным
нулю.
Глава 12
ТЕОРИЯ ЛУНЫ ДЕЛОНЭ
§ 12.01. Введение
Наиболее исчерпывающее применение канонических элементов к небесной
механике осуществил Делонэ в своей теории Луны. В результате
двадцатилетней работы им была построена самая полная буквенная теория из
когда-либо созданных в этой сложной проблеме. Вследствие того, что эта
теория буквенная, окончательные формулы Делонэ могут быть использованы
при исследованиях движения и других спутников.
Мы будем исходить из канонических уравнений для элементов Делонэ L, О, И;
I, g, А, которые запишем в следующей краткой форме:
а tt г- и\ W d и и\ dR'
dt G’ Н) ~ д (I, g, h) ’ dt У” h)— d Q щ . (1)
где
= (2)
причем R — первоначальная возмущающая функция.
Напишем также выражения для элементов Делонэ через эллиптические элементы
L=Ypa, G = |/ра (1—е2), // = Vt*a (1—e2)cos I; (3)
l=znt-f-e — &, g = S> — 2, h — Q. (4)
Формулы (18) и (19) § 7.06 дают разложение с точностью до членов
четвертого порядка малости относительно величин т, е, у, е1 и а/ах,
причем последняя принимается за величину второго порядка. В этих формулах
?, например, определяется равенством
S = (я — пх) t -f- е — e1 = l-\-S> — nxt — Sj.
а M, так же как и /, — средняя аномалия.
Для примера мы будем рассматривать в формуле (18) § 7.06 периодический
член с аргументом 2$-f-М или bl-{-2g-{-2h—2nlt—2tl. Мы можем
преобразовать этот аргумент, выразив его через модифицированные элементы
Делонэ g'. А', которые определяются формулами (3) § 11.06, т. е.
I' — l + g + h. g' = g + h, h' — h
234
Глава 12. Теория Луны Делонэ
или
V = средней долготе, g' = <5, W — 2.
Этот аргумент тогда примет вид
Ы'— g' — 2nJ — 2er
Для удобства мы будем опускать штрихи и писать этот аргумент в виде
3/ — g — 2 nj — 2е,.
так что
/ = средней долготе, g = й, А = 2, (5)
Согласно формулам (3) настоящего параграфа и (1) § 11.06, соответствующие
неугловые элементы, если опустить штрих, выражаются через кеплеровские
элементы следующим образом:
L = Vw, О = /^(/1^-0. (б)
H = Y\xa (1 —e2)(cosi— 1).
Здесь G — малая величина порядка е2 и Н — малая величина порядка I2.
Канонические уравнения тогда будут иметь форму (1), где L, G, Н\ I, g, А
определяются по формулам (6) и (5).
Согласно формуле (18) § 7.06, амплитуда рассматриваемого члена равна
3/4т2ге2а2е, или Зр2т2е/4А2, если положить ге2 = ра~3. Согласно формуле
(7) § 11.06, имеем
Следовательно, амплитуда в рассматриваемом случае будет выражаться через
А и О.
Аналогично из формулы (18) § 7.06 находим, что вековая часть в R',
