Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
распространения случайных звуковых возмущений. Рассмотрение деформации
формы начального спектрального распределения, динамики различных
нелинейных взаимодействий представляет и здесь несомненный интерес.
Важность этих исследований обусловлена в первую очередь наличием реальных
источников, являющихся, по существу, источниками шумовых волн. В качестве
примеров можно указать на такие явления, как кавитация [8], электрические
разряды в воде [116], взрывы, мощные струйные течения и т. д.,
сопровождающиеся излучением интенсивных шумов. Более того, обычные
источники ультразвука, с которыми приходится иметь дело в повседневной
лабораторной практике, также не вполне монохроматичны. Несмотря на
высокую добротность линий, они имеют все же конечную ширину, что
252
ГЛ. X. О СТАТИСТИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЯХ
обусловлено наличием амплитудных и фазовых флуктуаций. Случайный характер
входного возмущения может существенно повлиять на протекание нелинейных
процессов, так что с этим обстоятельством часто нельзя не считаться.
Нужно заметить, что в смежной с нелинейной акустикой области волновых
процессов - в нелинейной оптике - статистические явления изучены весьма
полно [117]. Математический аппарат здесь во многом более прост, так как
из-за сильной дисперсии в оптике возможно оперировать медленно
изменяющимися комплексными амплитудами нескольких квазимонохроматических
волн. Относительная простота, а также наличие важных практических
приложений стимулировали исследования вопросов статистики мощного
лазерного излучения. В настоящее время статистическая нелинейная оптика
[117] представляет собой довольно развитую область, результаты которой
многократно подвергались экспериментальной проверке. Поэтому всюду, где
это возможно (а именно в задачах о модулированных звуковых волнах в
области до образования разрывов), мы будем сопоставлять результаты этой
главы с выводами монографии [117].
Обратимся сперва к наиболее простой задаче о распространении случайно-
модулированной квазимонохромати-ческой звуковой волны [118]. Пусть на
входе в нелинейную среду при х = О задан узкополосный случайный процесс:
v (г) = у" (Qi) sin [ю0? + Ф (Ш)]. (Х.1.1)
Здесь v - колебательная скорость, v0 и ф - медленно изменяющиеся
амплитуда и фаза; ?2/со0 - 1- В со-
ответствии с уравнением
" dv 8 dv ,-ут л f)\
-г- = V -т:- (Х.1.2)
дх с2 ду
(где у = t - х/с0, е = (у + 1)/2), описывающим деформацию волны
произвольного профиля, решение v (х, t) получается из условия на границе
(Х.1.1) с помощью замены аргумента t на у + zvxlc\. Поскольку характерное
время Q'1 изменения функций v0, ф велико (по сравнению с coq1)"
искажением амплитуды у0 и фазы ф можно
§ 1. СЛУЧАЙНО-МОДУЛИРОВАННЫЕ ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ 253
пренебречь и решение представить в виде
v(y, х) = v0(Qy)sin щу + ~ co0i> {у, х) х + cp (Qy) . (Х.1.3)
Сп
о
Для упрощения записи последующих выкладок удобно ввести .безразмерные
переменные 0 = со 0у, z =
Неявная функция типа / = sin [0 + zf] может быть представлена в виде ряда
Бесселя - Фубини (1.5.9), поэтому вместо (Х.1.4) можно написать
Воспользуемся разложением (Х.1.5) прежде всего для вычисления
корреляционной функции В (т, z) сигнала V (0, z) в произвольном сечении
нелинейной среды:
X sin гг [0 -J- ф] sin m[0' -f- ф'] W4 (.4, А', ф, ф') d<p с&р', (Х.1.6)
где 0' = 0 + со0т, А = А (0), ф = ф (0) и А' = А (0'), ф' = ф (0').
Расчет выполним для стационарного нормального процесса (Х.1.1), у
которого четырехмерная функция распределения W4 (А, А', ф, ф') равна [89]
Здесь Ъ = Ъ {%) - огибающая корреляционной функции сигнала на входе:
= есо0сгж/со, V = v/o, А = vja (где о = j/ya), тогда V (0, г) = А (0) sin
[0 + zV + ф (0)]. (Х.1.4)
sinre [0 -f ф (0)J. (Х.1.5)
B(t,z) = F(0,2)F(0\z) =
= S ^§dAdA'§Jn(nzA)Jm(mzA')X
1
2(1 - Ьа)
(X.1.7)
В (т, z = 0) = b (т) cos (c)от.
(X.1.8)
254
ГЛ. X. О СТАТИСТИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЯХ
При вычислении внутреннего интеграла по dcp dcp' нужно воспользоваться
соотношением
Г АА'Ь , , О
ехР { 1-Ь2 cos (Ф - Ф - "(ГО} =
со
= 2 8/з () cos j - ф - "от); (Х.1.9)
3=0
здесь Ej = 1 для / = 0 и а,- = 2 для / 0. При этом по-
лучается следующий результат:
2 п
^ sin nq> sin ттр' ехр | __ &а cos (ф' - ф - со0тг)| йфйф' = о .
оо
= я2 2 SjSnjSmjlj (;Л_^ ) cos /(00t. (Х.1.10)
3=0
Наконец, интегрируя по dA dA', придем к искомому выражению [119]
со
B(x,z) = S e(nz)2 ¦¦ Jn l(nz)2 ъ (г)] cos пщх. (Х.1.11)
П=1 ' '
Соверш'ая предельный переход г ->0 в формуле (Х.1.11), мы, естественно,
получим входную корреляционную функцию Ь (т) cos со0т = В (т, 0). |
I 1
Выражение (Х.1.11) позволяет выявить различие в процессах генерации
гармоник случайной и детерминированной исходными волнами. Наибольший
интерес, очевидно, представляет сравнение темпа нарастания гармоник при
одинаковых интенсивностях Е исходных волн; для детерминированного сигнала
i?(S) = v\!2 (где v0 - амплитуда сигнала), а для случайного сигнала EW =
= v2 = а2. Для интенсивностей гармоник имеем
