Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
при со->¦ оо.
Пользуясь выражениями (Х.2.11), (Х.2.12), нетрудно показать, что
спектральная плотность при со -о- оо изменяется по закону со-3 [125].
Этот результат формально следует из полученных выражений при р = гУJ д
(0) ]> 1 (где -R (0) ~ Дсо2, Дсо - ширина исходного спектра). Однако при
р )> 1 эти выражения неправильно описывают форму спектра, поскольку при
этом интенсивность Е (z) = = В (0, z) не остается постоянной.
Непосредственно же
*) Похожая картина наблюдалась в эксперименте [140].
266
ГЛ. X. О СТАТИСТИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЯХ
из (Х.1.2) следует, что в недиссипативном случае значение Е (z) = v2
должно сохраняться.
Указанное расхождение обусловлено тем, что вследствие флуктуационного
характера возмущений в некоторых выбросах образуются разрывы, не
описываемые, однако, принятой моделью. Решение (Х.2.1) становится
неоднозначной функцией переменной у и, строго говоря, не может быть
разложено в спектр. Вместе с тем такая процедура при (1 <; 1 приближенно
верна. Отклонение же В (0, z) от своего первоначального значения а2
растет с увеличением р, и критерием применимости формулы (Х.2.12) может
служить заданное отклонение В (0, z) от а2.
Более корректный, анализ явления при 3 1 должен
основываться на решении уравнения Бюргерса, содержащего старшую
производную. Учет же низкочастотных потерь может быть проведен введением
члена -б г; в правую часть уравнения (Х.1.2). Этот случай сводится к
рассмотренному выше с помощью замены переменных
U = ке-5-\ й = (Х.2.14)
Как нетрудно видеть, при 8х 1 здесь достигается стационарное по форме
спектральное распределение.
Когда постановка задачи является более ограниченной и требуется
определить равновесную форму спектра, не интересуясь его динамикой,
возможен принципиально иной подход [16, 123] к проблеме акустической
турбулентности. Предполагая, что фазы различных фурье-компонент спектра
слабо коррелированы, можно от динамических дифференциальных уравнений
перейти к кинетическому уравнению для средних значений квадратов
амплитуд. Такой подход позволяет наряду с процессами самовоз-действия,
приводящими к возникновению коррелированных гармоник и переходу
гармонической волны в пилообразную, учесть еще и процессы перемешивания
волн, бегущих в различных направлениях. Это перемешивание, связанное с
неодномерным характером явления, может привести к размытию фронта
пилообразной волны и в этом смысле действует подобно турбулентной
вязкости. Как показано в работе [126], стационарный спектр в
§ 3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МОДУЛИРОВАННЫХ ВОЛН 267
общем случае разбивается на два участка, первый из которых, со-2 [124],
определяется спектром пилообразной волны, а второй, со-8/2 [123],
соответствует турбулентному перемешиванию.
§ 3. Взаимодействие модулированных волн [127]
Общие выражения, полученные в предыдущем параграфе, позволяют рассмотреть
широкий класс задач, соответствующих различным спектральным
распределениям на границе нелинейной среды. В частности, полагая в
формуле (Х.2.12) R (р) = b (р) cos со0р (где b (р) - медленно
изменяющаяся за время 2л/<в0 функция), можно другим способом вывести
результат (Х.1.11) для корреляционной функции узкополосного шума.
Интересно рассмотреть также невырожденное трехволновое взаимодействие,
когда на входе в нелинейную среду задан спектр, состоящий из трех
спектральных линий с центрами o)v со2, со3, причем со3 = сох + <в2- Нужно
предположить, что ширины этих линий Acoj малы по сравнению с расстояниями
| op - op j (г, / = 1, 2, 3; i Ф /') между ними. Тоща корреляционная
функция исходного шумового возмущения должна иметь вид
Подставляя выражение (Х.3.1) в общее решение (Х.2.12) и используя формулу
(Х.1.9), получим
В приближении узкополосности входных сигналов ("медленности" огибающих bv
b2, bs) член подынтеграль-
G G
R Сп) = -ф- Щч) cos (OiP +-ф-Ь2 (Т)) COS С02Т1 +
+ "i' (р) cos<в3т], (Х.3.1)
а2 = а\ + а2 + а:
.2
'3*
оо
268
ГЛ. X. О СТАТИСТИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЯХ
ной суммы с п = т = к = 0 может быть положен равным единице. Остальные
члены дают комбинационные частоты и гармоники трех исходных волн.
Поскольку наибольший интерес представляет рассмотрение взаимодействия
именно этих волн - с частотами сох, со2> (r)з>- сохраним в (Х.3.2) только
нужные нам члены. Совершая косинус-преобразование Фурье, можно получить
следующее выражение для корреляционной функции на частоте сор
Аналогичные выражения на частотах со2, со3 получаются из (Х.3.3) с
помощью очевидной перестановки индексов.
Для анализа параметрического процесса <а3 ->¦ сщ -j--j- со2 предположим,
что волны со1, со2 - слабые, т. е. 0i/o2, cf"/02 1 и стз/ц2^1.
Одновременно полагаем
т = 0 и переходим к интенсивностям волн Ev Ег, Ев:
При наиболее типичном задании исходного возмущения одна из слабых волн
(например, <а2) на границе отсутствует и возникает в нелинейной среде как
результат взаимодействия между волнами со1? со3. Именно этот случай
отражен на рис. X.5, а, построенном в соответствии с формулами (Х.3.4)
