Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
6=1Vcj=^J-. (IX.2.18)
Расстояние б = 6раСх = 1 условно будем считать длиной пути, на котором
исходная плоская волна превращается в расходящуюся. Поскольку для другой
безразмерной координаты о значение пр = 1 соответствует длине пути
формирования разрыва, числу N можно придать следующий смысл:
232
ГЛ. IX. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКОВЫХ ПУЧКОВ
Таким образом, если хр жрасх (т. е. расстояние, на котором в волне мог бы
сформироваться разрыв, гораздо больше, чем длина пути, на котором волна
становится расходящейся), то N2§> 1 и справедливо линейное приближение.
Напротив, если выполнено обратное неравенство хр Храсх, то N 1, дифракция
волны сказывается мало и преобладают нелинейные эффекты.
§ 3. Нелинейные эффекты в звуковых пучках
Этот параграф посвящен анализу решений, полученных с помощью уравнений
(IX.2.3), (IX.2.4) в предельном случае iV -> 0 [111]. Как уже отмечалось,
при N = 0 до-' минируют нелинейные эффекты. В уравнениях можно пренебречь
правой частью и получить решение (с начальным условием (IX.2.6)) в виде
римановской волны второго (по числу Маха) приближения:
Последнее выражение удобно разложить в ряд Фурье по sin /г0, как это
делалось при выводе решения в форме Бесселя - Фубини (гл. I, § 5):
Разложение (IX.3.2) позволяет проследить за эволюцией профилей
радиального распределения амплитуд всех гармоник при различных значениях
а. Результаты для первой и второй гармоник изображены на рис. IX.2, а, б.
Ширина пучка ап п-й гармоники (по уровню ё~х от максимального значения)
определяется из трансцендентного уравнения /" (noe~Z2) = e~lJn (по) и при
малых о равна
т. е. чем выше номер гармоники, тем в более узкой приосе-вой области она
локализована. Заметим, что ап, вообще говоря, зависят от а. Зато ширина
пучка средней по времени энергии единицы объема среды Ё = Ро*;2 = Роуо-^
не изменяется. Это можно показать, воспользовавшись
R = e~S2 sin (0 + oR).
(IX.3.1)
(IX.3.2)
"П = a/V п,
(IX.3.3)
I 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ В ЗВУКОВЫХ ПУЧКАХ 233
выражением (IX.3.1):
2
Е = <r2'2 ^ sin2 (0 -(- бЯ) dQ ~
о
2 2 = е~2^г ^ sin2 р (1 - ае~'г cos р) dr\ = е-й*. (IX.3.4)
о
Отсюда видно, что при любых а вплоть до образования разрыва (в области
применимости решения (IX.3.1)) ширина
Рис. IX.2. Эволюция профилей радиального распределения амплитуд цервой и
второй гармоник при различных значениях б.
пучка энергии остается постоянной. Это связано, во-первых, с тем, что
среды в акустике являются недиспергирующими и скорость звука зависит от
мгновенных значений величины возмущения. Во-вторых, основной в акустике
является квадратичная нелинейность (как известно из нелинейной оптики
[114], самофокусировка или дефокусировка пучков возможны в средах с
кубичной нелинейностью). Вывод о невозможности самовоздействия за счет
обычного нелинейного механизма справедлив только для периодического
сигнала. В то же время однополярные импульсы, локализованные в
пространстве в виде пучков, могут расплываться или сужаться (это будет
показано в
234
ГЛ. IX. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКОВЫХ ПУЧКОВ
§ 5 настоящей главы) при распространении в нелинейной среде.
Рассмотрим теперь, как изменяется ширина пучка энергии после того, как в
волне образуется разрыв. Расстояние ар образования разрыва можно
определить с помощью решения (IX.3.1). Поскольку волна искажается
симметричным образом,1'фронт проходит в точке 0 = 0 и амплитуда разрыва
i?p определяется из условия Rp = е~^г sin оТ?р.
Рис. IX.3. Зависимость от <з энергии единицы объема среды при различных
|. Штриховой кривой изображена функция =
= ехр (^).
Таким образом, разрыв начинает образовываться при Вр ^ х? О, т. е. на
расстоянии
бр = е**. (IX.3.5)
Длина (Тр существенно зависит от а именно чем дальше от оси, тем позже
формируется разрыв. На рис. IX.3 штриховой линией построена кривая а =
ехр (|г), а сплошными кривыми показана зависимость от о энергии единицы
объема среды (при различных |). Поскольку вблизи оси ударная волна
формируется раньше (при а = 1), начинается ее интенсивное затухание,
приводящее к уменьшению средней энергии Е. В то же время в более
удаленных от оси областях разрыв еще не образовался, и $ = const, Таким
I 4. РЕШЕНИЙ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ЧИСЛАХ N
образом, происходит деформация профиля радиального распределения Е (?).
Как показано на рис. IX.4, более сильное затухание в приосевой области
приводит к увеличению ширины пучка энергии, и волна постепенно
превращается в плоскую волну малой амплитуды - ради- т/Р0 и о ,. альное
распределение становится более однородным *).
§ 4. Приближенные решения при больших и малых числах JV
В том случае, когда N велико, нелинейность учесть довольно просто.
Для этого нужно отыскать второе приближение по малому параметру UN в
решении уравнения (IX.2.4), используя в качестве первого приближения
выражение (IX.2.17). Вводя новую безразмерную координату б = No, запишем
уравнение второго приближения в виде
02R(2, 1 /02Д(2} 1 ад(2) \ 1 Й2Д(1)2
00 эь 4 \ -г ? ?? ) - -2дг аоз
