Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
образования в них разрывов. Тогда имеет смысл введение случайной длины
образования разрыва [129]:
статистику которой W (lv) нетрудно найти, зная функцию распределения
девиации частоты (t) = дц>idl. Для рас-
сматриваемого нами случая [89]
ZpW=[-^(")0+42-)]"1. (Х.4.6)
(Х.4.7)
Ш(/р>0) =
1
ехр'
.(Х.4.8)
Интегральная функция от плотности распределения W (/р) характеризует
вероятность обнаружения импуль-
§ 5. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СИГНАЛА С ШУМОМ
273
сов с разрывными фронтами для заданного расстояния х = L в нелинейной
среде:
F(L) =\W(lv)dlv= 1
/
1 - Ф
1
¦ AaioL
-1L
\
. (Х.4.9)
где Ф - функция ошибок. Из последнего результата следует, что на
расстоянии L ~ Со/еИсо 50% импульсов имеют крутые фронты. В случае же
гармонического сигнала на указанной длине все формируемые импульсы
претерпевают разрыв.
§ 5. О взаимодействии регулярных волн со случайными [130]
Наиболее интересной с точки зрения физических приложений является задача
о распространении в нелинейной среде смешанного возмущения,
представляющего собой суперпозицию сигнала и шума. Сложная спектральная
картина взаимодействия этих возмущений обычно и наблюдается в
экспериментах. Поэтому наличие точного спектрального представления
соответствующего решения нелинейного уравнения (Х.1.2) открывает
возможности как иного понимания уже известных явлений, так и изучения
новых проблем. Многообразие всех интересных типов взаимодействий
исключает возможность их общего рассмотрения. В § 5 будут подробно
рассмотрены некоторые важные частные случаи.
В соответствии с предметом настоящего параграфа, сформулированным в его
названии, положим в формуле (Х.2.6)
Ил) = ЛЧл) + s (ц), (X .5.1)
где S (ц) - детерминированный сигнал, а N (ц) - случайный процесс.
Для определенности будем рассматривать нормальный шум N (ц) с нулевым
средним значением N = 0 и интен-
274
ГЛ. X. О СТАТИСТИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЯХ
сивностью а2. Статистическое усреднение в выражении (Х.2.6) приводит в
этом случае к характеристической функции (Х.2.8). Усредняя далее
выражение (Х.2.6) по переменной у (у = y.v у2 = у{ -[- т), получим
/ ? \ 2 оо
оо , - /-осо.х \ Г" Г"
В^'Х)= \ ' ЙЙ>)мФ1 + Ф2 + Фз)Х
-оо
X exp jico (р2 - rji) + ^ saxj R (рх - р2) +'
+ i СОЖ [S (Рх) - S (p2)])dpxdp2, (Х.5.2)
со '
где обозначено
Фх = - б
92Л , / 8 \2 / ЭЯ \2
9р2
аш
* . / 8 sfdRdS dR ГdS ]
2_ 16 (с2 6C0;rjLdPi дР2 дг]2 dpi J ' (Х.5.3)
Ф3 -
dS as dpi dp2
Дальнейшие упрощения в общем виде провести не удается. На этом этапе
необходимо конкретизировать регулярную часть S (р) полного возмущения ?
(р). Примем сигнал S (р) монохроматическим:
S (р) = A sin со0р. (Х.5.4)
Переходя теперь в выражении (Х.5.2) к новым переменным '
Hi - Па = Ф Ф = Ъ (Х.5.5)
и выполняя интегрирование по переменной р2, можно получить следующий
результат для спектральной плотности процесса в произвольном сечении х
нелинейной среды:
S (о, х) = Ух + У2 + Sз, (Х.5.6)
5. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СИГНАЛА С ШУМОМ 275
где
2яо)2
\2
осах 1 00
L[jr+(7e"№
X ехр [Y -- осо^\2 R - jcoTjl cZt|, (Х.5.7)
1\ с0 / J
(г \ 2 л / ( ~~2~ ослх )
-S's (со, я) = -^-/-^асо0х\е Vе" ' ^ Д'сов-^лЛСФ) X
(r) / -оо
X ехр |^~г <3(r)^* ~ (Х.5.8)
- / ? \3 00
х42(03 2 f
*У3(о>, а:) = i-e ' " / ) [cosсо0р-/0(ф) - /2 (Ф)1 X
-ОО
X ехр |^"Т a(i)XJ R j dr\. (Х.5.9)
Аргументом ф функций Бесселя /0, /15 /2, стоящих под знаками интегралов,
является выражение
ф = 2-^- Aoftr-sin -^-тр (Х.5.10)
со Z
Каждый из трех полученных членов Sv S2, S3 имеет наглядный физический
смысл. Так, выражение S± (ю, х) описывает процесс нелинейного искажения
спектральной плотности шума (ср. с (Х.2.9)), "подправленный" под
знаком интеграла (Х.5.7) множителем /0, который учитывает наличие
регулярной компоненты S (г)).
Устремляя амплитуду А гармонического сигнала к нулю, нетрудно вместо
(Х.5.7) прийти к соответствующему выражению (Х.2.9). Формула для S3 (ю,
х) описывает нелинейные искажения регулярной части S (г)) с поправкой на
шум. Если перейти в выражении (Х.5.9) к пределу а -> 0, можно получить
результат, отвечающий решению Бесселя - Фубини. Наиболее интересен,
пожалуй, член S2 (о>, х), дающий информацию о перекрестном взаимо-
276
ГЛ. X. О СТАТИСТИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЯХ
действии сигнала с шумом. Однако детальный анализ показывает, что
аналогичная информация содержится и в членах Slt S3.
Для выделения интересующих нас выражений нужно воспользоваться теоремой
сложения для цилиндрических функций, которая позволяет разложить функции*
Бесселя /0, Jv /2 от аргумента (Х.5.10) в ряд по парным произведениям
функций Бесселя от
аргумента -4- Асох.
со
При этом из выражения (Х.5.7) удается получить формулу, описывающую в
чистом виде искажение шумовой компоненты:
Результат (Х.5.11) отличается от соответствующего ему выражения (Х.2.11)
наличием множителя J\, который учитывает нелинейные потери из-за
присутствия регулярной части возмущения {А Ф 0).
Более сложные выкладки связаны с выделением членов, описывающих рождение
новых участков спектра в процессе взаимодействия сигнала с шумом.
