Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
для о2 = О, 0i/02 = 0,1, co^cog = 0,2.
В качестве следующего примера рассмотрим процесс генерации суммарной
частоты -f~ со2 -со3. Здесь уже
(т, z)
h ((zcoi)2 -J- b2 (т)) ¦ I0 ((zcoj)4 Ъ3 (г)) Д
§ 3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МОДУЛИРОВАННЫХ ВОЛН 269
нужно считать слабой волной со3, т. е. положить ог|/ог2 ~ 0. Полученные
таким образом выражения для
E(a>j]
Рис. Х.5. а) Параметрический процесс при шумовой накачке; б) генерация
суммарной частоты в поле двух квазигармонических случайных волн.
интенсивностей волн:
^1=24-^/,
" е-^У
("*>* <Х-3-5)
..-(zcoj)2
*з = 2^/х
(z(r)3)2-^-)/i((zco3)2^-)
270
ГЛ. X. О СТАТИСТИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЯХ
проанализированы на рис. Х.5, б при al - в\ = а2/2, (r)з/(r)1 - /3.
Следует обратить внимание на особенность в поведении кривых рис. Х.5 и на
их существенное отличие от аналогичных результатов для сред с сильной
дисперсией. Дело в том, что в нашем случае, помимо рассмотренного
"полезного" процесса сс^ ф- со2 со3, одновременно с ним протекает
множество "паразитных", к которым следует отнести генерацию гармоник и
комбинационных частот, отличных от ("!, со2, со3. Наличие дополнительных
каналов нелинейных потерь энергии значительно ослабляет эффективность
полезных процессов и, как нетрудно видеть, является главной причиной
спадания кривых, рис. Х.5.
Примерно таким же способом можно проследить за динамикой искажения
других, более сложных спектров. В частности, интересной с физической
точки зрения является задача о взаимодействии узкой и слабой спектральной
линии с интенсивным широким спектром, сосредоточенным вблизи нулевой
частоты. Эта задача может соответствовать, например, распространению
квазигармониче-ской волны через среду со случайными неоднородностями.
Можно показать, что перекачка энергии в линию приводит к ее уширению,
причем в основном растет высокочастотное крыло, а граница со стороны
низких частот практически неподвижна. Такое взаимодействие может
значительно сместить энергетический центр линии ю (z) =
оо
= § соS (со, z) dm в область более высоких со.
- оо
Рассмотренные в этом параграфе примеры носят иллюстративный характер и,
разумеется, не исчерпывают всех возможностей, содержащихся в общем
результате (Х.2.12).
§ 4. О квазигармонических сигналах
при наличии только фазовых флуктуаций [128]
Ультразвуковые волны большой интенсивности в жидкостях обычно получают с
помощью электромеханических преобразователей различного типа. Их
немонохроматич-ность определяется главным образом флуктуациями радио-
§ 4. О КВАЗИГАРМОНИЧЕСКИХ СИГНАЛАХ
271
генераторов, всегда обладающих малой нестабильностью частоты. У сигналов
реальных генераторов флуктуируют амплитуда А и фаза ф, однако, как
правило, малыми изменениями А можно пренебречь (А ^ const). Флуктуации же
фазы ф (t) в основном ответственны за конечную ширину спектра сигнала.
Рассмотрение вопроса о форме спектральных линий гармоник, возникающих в
среде, при наличии на границе квазигармонического возмущения
| (t) - A sin [a0l -|- ф (г)] (Х.4.1)
можно провести на основе общей теории, изложенной в § 2. Чтобы проделать
усреднение и определить функцию корреляции в произвольном сечении
нелинейной среды, необходимо рассчитать характеристическую функцию
(Х.2.7). Такой расчет нетрудно выполнить, пользуясь двумерным
распределением случайной фазы ф, = ф (Ц) [89]:
ОО
w2 (ф1, фг) = {'1 + 2 2 е-п!°1^-А cos п (фх - ф2)} ,
П= 1
(Х.4.2)
где D - коэффициент диффузии фазы. При этом получается результат С ("j, -
щ) = Jо (щг) /0 (<o2z) +
оо
+ 2 2 e~n'DzJn(o)iz) Jn((o2z) cos пщх. (Х.4.3)
n=i
Здесь введены обозначения z = Axe/cl, г = | % - т)2 |. Зная
корреляционную функцию (Х.2.6) сигнала и пользуясь теоремой Винера -
Хинчина, находим спектральную плотность сигнала в нелинейной среде:
J (", *) = 2А> 4]+ . (Х./..4)
Это выражение является строгим в рамках дифференциального уравнения
(Х.1.2), поэтому условие его применимости-^- Л(о0ж + 1. При n2D0
последний множитель со
в (Х.4.4) дает дельта-функцию 6 (со - яю0). При этом
272
ГЛ. X, О СТАТИСТИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЯХ
(Х.4.4) переходит в выражение, которое получается для гармонического (ср
= const) исходного сигнала при разложении решения (Х.4.1) в ряд Бесселя -
Фубини.
В пределе z->-0 результат (Х.4.4) дает лоренцеву спектральную плотность
исходного сигнала
В нелинейной среде спектральное распределение сигнала и возникающих
гармоник отличается от распределения Лоренца, и максимум спектра
несколько смещается в сторону высоких^частот ю )> яю0. Однако эта
деформация весьма мала, и с точностью до (D/<±>0) ^ 1 все распределения
можно считать лоренцевыми.
Ширина спектральных линий гармоник с номером п растет, как я2,- ситуация,
сходная с умножением частот в сильно диспергирующих средах [117].
Интенсивность генерируемых гармоник оказывается такой же, как и в случае
распространения в нелинейной среде чисто гармонического сигнала.
Возможна и другая постановка рассмотренной задачи. Пусть есть возможность
проследить за деформацией каждого из периодов сигнала вплоть до
