Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
большие значения. Поэтому уже в непосредственной близости от источника
волна содержит разрывные участки. Вместе с тем вероятность выбросов с
большими амплитудами мала, что позволяет на больших расстояниях
использовать полученные результаты в качестве приближенных.
Простым, но довольно грубым критерием применимости может служить
расстояние zx = 1 образования ударного фронта в регулярной волне равной
интенсивности. Более корректный путь состоит в "обрезании" крыла релеев-
ского распределения при некоторой А = Лгр (в соответствии с наперед
заданной допустимой величиной ошибки) и оценке длины образования разрыва
для волны с А =
= Агр по формуле хр = |-^-йз4гр| .
Эти затруднения не возникают, если в качестве динамического уравнения
вместо (Х.1.2) использовать урав-
Оо
Р (аг) = е~аг. (Х.1.20)
§ 1. СЛУЧАЙНО-МОДУЛИРОВАННЫЕ ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ 259
нение Бюргерса. Пусть имеется решение этого уравнения, соответствующее
регулярному возмущению на границе (А = v0/a и ф фиксированны):
ОО
V = 2 AFn (Az) sin п (0 ф). (Х.1.21)
П=1
Здесь AFп - амплитуда п-ж гармоники, явные выражения для которой на
различных этапах даются, например, формулами Бесселя - Фубини (1.5.9) и
Фея (II.2.11). Наличие решения (Х.1.21) позволяет в принципе рассчитать
корреляционные функции гармоник для произвольного сечения нелинейной
среды:
оо 2 тс
Вп (т, z) = ^ d A dA' ^ AA'Fn (Az) Fm (A'z) sin n (0 + q>) x о "o
X sinm(0'-|-ф')Нл4(-4, .4', ф, ф')йфйф'. (X.1.22)
Однако наглядный аналитический расчет в общем виде невозможен из-за
отсутствия удобных выражений для Fn (Az), допускающих точное вычисление
интеграла (Х.1.22). Тем не менее такая задача может быть решена численно
для любых значений числа Рейнольдса.
На рис. Х.З штриховыми кривыми представлены результаты расчета [118]
средних интенсивностей (z) = = В (0, z) гармоник узкополосного шума для
значений Re -> оо.
При вычислении интеграла (Х.1.22) использовались численные данные для Fn,
полученные с помощью фу-рье-анализа искаженных профилей волны,
построенных графическим способом. Соответствующие интенсивности
регулярного возмущения изображены на рис. Х.З сплошными линиями. Расчеты
Е\р выполнены для стационарного нормального процесса.
Относительное расположение штриховых и сплошных кривых рис. Х.З можно
объяснить следующим образом. Поскольку амплитуда А исходного процесса
флуктуирует, наличие больших выбросов (относительно среднего Ж) приводит
к более быстрому убыванию интенсивности основной частоты и эффективному
росту гармоник шума
260
ГЛ. X. О СТАТИСТИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЯХ
по сравнению с регулярным возмущением такой же интенсивности. Деформация
выбросов с большими амплитудами приводит в дальнейшем к уменьшению их
величины из-за образования разрывов; в то же время малоамплитудные
флуктуации практически не деформируются. Это
Рис. Х.З. Результаты численного расчета интенсивностей гармо-йик
случайно-модулированного сигнала: гх = 1 соответствует расстоянию
образования разрыва в детерминированной волне той же
интенсивности.
обстоятельство "затягивает" уменьшение интенсивности (z)i которая может
превысить значение (*)¦ Рассмотренная физическая картина явления
объясняет также тот факт, что максимальные интенсивности шумовых гармоник
оказываются меньше регулярных.
§ 2. ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ЭВОЛЮЦИИ СПЕКТРОВ 261
Обсуждавшиеся выше границы применимости формулы (Х.1.И) наглядно
проясняются на рис. Х.З, на котором кривые интенсивностей гармоник шума
(Х.1.13) изображены штрих-пунктирной линией. Видно, что выражением
(Х.1.11) можно пользоваться па приведенных длинах % = г/2 < 0,7.
Полученные в этом параграфе результаты относятся к плоским волнам, однако
их легко перенести па случай шумов с цилиндрической или сферической
симметрией. Хотя здесь рассмотрен процесс распространения лишь
нормального случайного процесса, такой подход позволяет, вообще говоря,
исследовать поведение узкополосной волны с любым видом случайной
модуляции.
§ 2. Общая теория нелинейной эволюции спектров случайных звуковых полей
при отсутствии диссипации [120]
То счастливое обстоятельство, что в нелинейной акустике имеются простые
решения тина (Х.1.21), позволило в § 1 сделать ряд важных выводов о
процессе распространения случайного узкополосного возмущения. Однако уже
для задачи о взаимодействии двух квазимонохроматиче-ских волн операция
усреднения оказывается существенно более громоздкой. В случае сложных
спектров на границе прямой расчет не удается провести вообще.
Проблема аналитического описания трансформации спектра
немонохроматического входного возмущения привлекает к себе внимание давно
[121]. Имеются интересные результаты, полученные либо для недиссипативной
среды методом последовательных приближений [121], либо при учете слабой
нелинейности, что справедливо для Re 1 [122].
Нужно указать на принципиальное отличие в самой постановке задачи об
изменении формы шумового спектра от аналогичных задач для
детерминированных возмущений. Дело в том, что задание исходного
